2022　一橋大学　前期MathJax

【１】　$2^a{3}^b+2^c{3}^d=2022$を満たす$0$以上の整数$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$の組を求めよ．

【２】　$0\leqq \theta <2\pi$とする．座標平面上の$3$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{P}$$(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}$$\mathrm{Q}$$(1,3\sin 2\theta )$が三角形をなすとき，$\mathrm{▵OPQ}$の面積の最大値を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　実数$x\text{，}$$y$について，$\text{「}|x-y|\leqq x+y\text{」}$であることの必要十分条件は$\text{「}x\geqq 0$かつ$y\geqq 0\text{」}$であることを示せ．

(2)　次の不等式で定まる$xy$平面上の領域を図示せよ．

$|1+y-2x^2-y^2|\leqq 1-y-y^2$

【４】　$t$を実数とし，座標空間に点$\mathrm{A}$$(t-1,t,t+1)$をとる．また，$(0,0,0)\text{，}$$(1,0,0)\text{，}$$(0,1,0)\text{，}$$(1,1,0)\text{，}$$(0,0,1)\text{，}$$(1,0,1)\text{，}$$(0,1,1)\text{，}$$(1,1,1)$を頂点とする立方体を$D$とする．点$\mathrm{P}$が$D$の内部およびすべての面上を動くとき，線分$\mathrm{AP}$の動く範囲を$W$とし，$W$の体積を$f(t)$とする．

(1)　$f(-1)$を求めよ．

(2)　$f(t)$のグラフを描き，$f(t)$の最小値を求めよ．

【５】　中身の見えない$2$つの箱があり，$1$つの箱には赤玉$2$つと白玉$1$つが入っており，もう$1$つの箱には赤玉$1$つと白玉$2$つが入っている．どちらかの箱を選び，選んだ箱の中から玉を$1$つ取り出して元に戻す，という操作を繰り返す．

(1)　$1$回目は箱を無作為に選び，$2$回目以降は，前回取り出した玉が赤玉なら前回と同じ箱，前回取り出した玉が白玉なら前回とは異なる箱を選ぶ．$n$回目に赤玉を取り出す確率$p_n$を求めよ．

(2)　$1$回目は箱を無作為に選び，$2$回目以降は，前回取り出した玉が赤玉なら前回と同じ箱，前回取り出した玉が白玉なら箱を無作為に選ぶ．$n$回目に赤玉を取り出す確率$q_n$を求めよ．