2022　一橋大学　後期MathJax

【１】　${\log }_y(6x+y)=x$を満たす正の整数$x\text{，}$$y$の組を求めよ．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}$$(1,-1,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,2,4)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-1,2,-1)$がある．点$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と平行な直線を$l$とする．点$\mathrm{Q}$は$l$上の任意の点$\mathrm{P}$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{CQ}}=0$を満たす．$\mathrm{OQ}$が最小となるときの$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．

【３】　$x\text{，}$$y$を実数とするとき

$\min (x-y^2,y-x^2)$

の最大値を求めよ．ただし，実数$a\text{，}$$b$に対して，$a\leqq b$のとき$\min (a,b)=a\text{，}$$a\geqq b$のとき$\min (a,b)=b$とする．

【４】　大小$2$つのさいころを同時に投げる試行を$n$回行う．$k$回日の試行で出た，大きいさいころの目を$a_k\text{，}$小さいさいころの目を$b_k$とし，$x_k\text{，}$$y_k$を

$\{\begin{array}{l}{a}_k=1\text{，}2\text{のとき}{x}_k=1\\ a_k=3\text{，}4\text{のとき}{x}_k=0\\ a_k=5\text{，}6\text{のとき}{x}_k=-1\end{array}$$\{\begin{array}{l}{b}_k=1\text{，}2\text{，}3\text{のとき}{y}_k=1\\ b_k=4\text{，}5\text{，}6\text{のとき}{y}_k=-1\end{array}$

で定める．このとき，$A_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{x}_k{y}_k$の値が$\alpha$となる確率を$P(A_n=\alpha )$で表す．

(1)　$P(A_3=0)$を求めよ．

(2)　$n\geqq 2$のとき$P(A_n=n)\text{，}$$P(A_n=n-1)\text{，}$$P(A_n=n-2)$をそれぞれ求めよ．

【５Ⅰ】　$t$を実数とする．直線$x=t$に関して曲線$C_1\text{：}y=x^3-2x^2-4x$と対称な曲線を$C_2$とする．

(1)　$C_1$と$C_2$が共有点をちょうど$3$個持つときの$t$の範囲を求めよ．

(2)　$t$が(1)の範囲を動くとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた$2$つの部分の面積の和を$S(t)$とする．$S(t)$の最大値を求めよ．

【５Ⅱ】　$x>0$に対して

${(1+x)}^{\frac{1}{x}}<e<{(1+x)}^{\frac{1}{x}+1}$

が成り立つことを示せ．