2022　横浜国立大学　前期MathJax

【１】　$r$を$0$でない実数とする．数列$\{a_n\}$が以下をみたしている．

$\{\begin{array}{l}{a}_1=r\\ a_n=n-1+r+{\displaystyle \frac{1}{r}}(a_{n-1}-n+2)\text{，}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \end{array}$

　次の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4$を$r$の式で表せ．

(2)　$a_n$を$n\text{，}$$r$の式で表せ．

(3)　$r={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を$n$の式で表せ．

【２】　正の実数$a\text{，}$$b$に対して，関数$f(x)\text{，}$$g(x)$を

$\{\begin{array}{l}f(x)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-a(a+1)x\\ g(x)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+b\end{array}$

とする．$xy$平面上の曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の共有点は，異なる$2$点のみである．これらの共有点の$x$座標を$p\text{，}$$q$$\text{（}p<q\text{）}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$b$を$a$の式で表せ．

(2)　$p$と$q$をそれぞれ$a$の式で表せ．

(3)　$t$が$p\leqq t\leqq q$の範囲を動くとき，$|f(t)-g(t)|$の最大値を$a$の式で表せ．

【３】　$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$を考える．点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$は，それぞれ辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}\text{，}$$\mathrm{BC}$を以下のように内分する．

$\mathrm{OP}:\mathrm{PA}=s:(1-s)\text{，}$$\mathrm{OQ}:\mathrm{QB}=t:(1-t)\text{，}$$\mathrm{BR}:\mathrm{RC}=u:(1-u)$

さらに，点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{▵ABC}$の重心$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{▵PQR}$の重心$\mathrm{H}$の$3$点は同一直線上にある．

　次の問いに答えよ．

(1)　$s\text{，}$$u$を$t$の式で表せ．また$s$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{QP}}\right|}^2\text{，}$${\left|\overrightarrow{\mathrm{QR}}\right|}^2\text{，}$内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}}$を$t$の式で表せ．

(3)　$\mathrm{▵PQR}$の面積$S$を$t$の式で表せ．また$S$が最小となる$t$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$0$でない実数$a$に対して，定積分

$I={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{e}^{at}\cos (2t)\mathit{dt}\text{，}$$J={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{e}^{at}\sin (2t)\mathit{dt}$

を$a$の式で表せ．

(2)　$xy$平面において，曲線$C\text{：}x=e^{-2t}\cos t\text{，}$$y=e^{-t}\sin t$ $(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$と，$x$軸と，$y$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【２】　$n$を自然数とする．$xy$平面上を動く点$\mathrm{P}$があり，$1$回の移動で次の(L)，(R)のいずれかによって，$\mathrm{P}$は移動する．

$\{\begin{array}{l}\text{点}\mathrm{P}\text{が}(x,y)\text{にあるとき，}\\ \text{(L) }(x-1,y-1)\text{に移動する}\\ \text{(R) }(x+1,y-1)\text{に移動する}\end{array}$

はじめ$\mathrm{P}$は原点$(0,0)$にあり，この移動を$n$回繰り返す．このとき，$k=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$n$に対して，$\mathrm{P}$が$k$回移動した後の$x$座標を$x_k$とおく．

　例えば$n=2$のとき，$\mathrm{P}$は「(L)，(R)」の順に従って移動すると，$(-1,-1)\text{，}$$(0,-2)$の順に移動する．また$\mathrm{P}$の移動の仕方は，「(L)，(L)」，「(L)，(R)」，「(R)，(L)」，「(R)，(R)」のそれぞれに従って移動する$4$通りある．さらに，$x_2\leqq 0$をみたす$\mathrm{P}$の移動の仕方は，「(L)，(L)」，「(L)，(R)」，「(R)，(L)」のそれぞれに従って移動する$3$通りある．

　次の問いに答えよ．

(1)　$n=4$のとき，$x_k\leqq 0$$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{）}$かつ$x_4=0$をみたす$\mathrm{P}$の移動の仕方は何通りあるか．

　以下，$n=8$とする．$x_1\text{，}\cdots \text{，}$$x_8$の最大値を$M$とし，$x_1\text{，}\cdots \text{，}$$x_8$の最小値を$m$とする．

(2)　$-2\leqq m\leqq M\leqq 3$をみたす$\mathrm{P}$の移動の仕方は何通りあるか．

(3)　$m=-2$かつ$M\leqq 3$をみたす$\mathrm{P}$の移動の仕方は何通りあるか．

(4)　$m=-2$かつ$1\leqq M\leqq 3$をみたす$\mathrm{P}$の移動の仕方は何通りあるか．

【３】　$z\ne 1$をみたす複素数$z$に対して，複素数$w$を

$w={\displaystyle \frac{2z-3}{z-1}}$

と定める．$r>1$をみたす実数$r$に対して，$z$が$\left|z\right|\geqq r$の範囲を動くとき，$w$がとる値の範囲を$D_r$と表す．次の問いに答えよ．

(1)　$r={\displaystyle \frac{3}{2}}$のとき，$D_r$を複素数平面に図示せよ．

(2)　$E_r$を$D_r$と実軸の共通部分とする．整数を表す点のうち，$E_r$に含まれる点の個数を$N_r$とおく．$N_r=3$となる$r$の範囲を求めよ．

【５】　$a$を$0<a\leqq 1$をみたす実数とする．関数

$f(x)=2\log (\sin (ax))-{(\log x)}^2$$(1<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を微分せよ．

(2)　$a=1$のとき，$f(x)$の極値を与える$x$の個数を求めよ．

(3)　$a\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$f(x)$は極値をもたないことを示せ．ただし，$\log {\displaystyle \frac{\pi }{2}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}$を証明せずに用いてよい．