2022　横浜国立大学　後期MathJax

$f(n)={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{n^2+28p^2}$

とする．次の問いに答えよ．

(1)　 $p=2$のとき，$f(n)$が整数となるような$n$をすべて求めよ．

(2)　$p\geqq 3$のとき，$f(n)$が整数となるような$n$をすべて求めよ．

(3)　$f(2022)$が整数となるような$p$をすべて求めよ．次に示す素因数分解を用いてよい．

(1)　$l_1$の方程式を求めよ．

(2)　$q$を$a$の式で表せ．

(3)　線分$\mathrm{PQ}\text{，}$線分$\mathrm{OQ}\text{，}$および$C$で囲まれた部分の面積を$S$とする．$S$を$a\text{，}$$p$の式で表せ．

(4)　$a$が正の実数全体を動くとき，(3)で求めた$S$を最小にする$a$を$p$の式で表せ．

　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$2$人が袋の中から次のように玉を取り出す．取り出した玉は袋には戻さない．はじめに$\mathrm{A}$が$1$個ずつ順に，合計$2$個の玉を取り出す．次に$\mathrm{B}$が袋に残った玉を$1$個ずつ順に，合計$2$個取り出す．$\mathrm{A}$が$1$個目に$n_1$の玉，$2$個目に$n_2$の玉を取り出したとき，$\mathrm{A}$は以下で定める得点を獲得する．

$n_1$と$n_2$が異なる場合，$n_1+n_2$を得点とし，

$n_1$と$n_2$が等しい場合，${\displaystyle \frac{3}{2}}(n_1+n_2)$を得点とする．

同様に，$\mathrm{B}$の取り出した$2$個の玉に従って，$\mathrm{B}$は得点を獲得する．

　例えば，$\mathrm{A}$は$1$個目に$4$の玉，$2$個目に$1$の玉を取り出し，$\mathrm{B}$は$1$個目も$2$個目も$3$の玉を取り出したとすると，$\mathrm{A}$の得点は$5\text{，}$$\mathrm{B}$の得点は$9$となる．

　$\mathrm{A}$の得点を$a\text{，}$$\mathrm{B}$の得点を$b$とする．次の条件付き確率をそれぞれ求めよ．

(1)「$\mathrm{A}$が$1$個目に$5$の玉，$2$個目に$2$の玉を取り出した」という条件のもとで，$a<b$となる条件付き確率

(2)「$\mathrm{A}$が$1$個目に$5$の玉を取り出した」という条件のもとで，$a=b$となる条件付き確率

(3)「$\mathrm{A}$が$1$個目に$5$の玉を取り出した」という条件のもとで，$a>b$となる条件付き確率

(ⅰ)　$f_1(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$

(ⅱ)　$f_{n+1}(x)=f_n(x)-f_n(x+1)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

次の問いに答えよ．

(1)　$f_2(x)\text{，}$$f_3(x)\text{，}$$f_4(x)$を求めよ．

(2)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対して，$f_n(x)$を，$n$を用いて表せ．

(3)　$m$を正の整数とする．$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対して

$f_n(m)=f_m(n)$

が成り立つことを示せ．

(4)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対して，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}}{(-1)}^k{f}_k(2n-k+1)$とする．$S_n$を求めよ．

$F(x)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\displaystyle \frac{2e^x\cos t\sin t}{{({\cos }^{2}t+x^n{\sin }^{2}t)}^2}}\mathit{dt}$$\text{（}x>0\text{）}$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$F(x)$を求めよ．

(2)　$F(x)$が極値をもつ最小の$n$の値を求めよ．

(ⅰ)　$f_1(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$

(ⅱ)　$f_{n+1}(x)=f_n(x)-f_n(x+1)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

次の問いに答えよ．

(1)　$f_2(x)\text{，}$$f_3(x)\text{，}$$f_4(x)$を求めよ．

(2)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対して，$f_n(x)$を，$n$を用いて表せ．

　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対して，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}}{f}_k(2n-k+1)\text{，}$$T_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{2^k}{k}}$とおく．

(3)　$S_{n+1}$を$S_n\text{，}$$n$の式で表せ．

(4)　${\displaystyle \frac{S_n}{T_n}}$を求めよ．

$a^2-5b^2=1$

が成り立つとする．次の問いに答えよ．ただし，$\sqrt{5}$が無理数であることは証明せずに用いてよい．

(1)　$b\leqq 4$のとき，$(a,b)$をすべて求めよ．

(2)　$a\text{，}$$b$を$2$で割った余りをそれぞれ求めよ．

　さらに，正の整数$X\text{，}$$Y$に対して，

$X(a+\sqrt{5}b)={(Y+\sqrt{5}b)}^2\text{，}$$a<Y$

が成り立つとする．

(3)　$X\text{，}$$Y$を$a$の式で表せ．

(4)　$\sqrt{X}$または$\sqrt{{\displaystyle \frac{X}{5}}}$は整数であることを証明せよ．

(1)　関数$f(x)=\log (1+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{x}})$$\text{（}x>0\text{）}$を微分せよ．

(2)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$に対して，

$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}\log (1+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{k}})\text{，}$$T_n={\displaystyle {\int }_1^n}\log (1+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{x}})\mathit{dx}$

とおく．不等式

$T_{n+1}\leqq S_n\leqq T_n+\log (1+\sqrt{2})$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を示せ．また$T_n$を$n$の式で表せ．

(3)　数列$\{a_n\}$を次で定める．

$a_1=1+\sqrt{2}\text{，}$$a_n=(n+\sqrt{2})a_{n-1}$$\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

数列$\left\{{\displaystyle \frac{a_n}{n!n^b}}\right\}$が$0$に収束するような実数$b$の範囲を求めよ．