2022　新潟大学　前期MathJax

【１】　座標平面の原点を$\mathrm{O}$とし，$2$点$\mathrm{A}$$({\displaystyle \frac{1}{2}},0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$をとり，単位円周上に点$\mathrm{P}$$(\cos \theta ,\sin \theta )$をとる．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\sin {\displaystyle \frac{\pi }{12}}\text{，}$$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{12}}\text{，}$$\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{12}}\text{，}$$\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　四角形$\mathrm{OAPB}$の面積$S$を$\theta$を用いて表せ．

(3)　${\displaystyle \frac{\pi }{12}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，$S$の最大値と最小値を求めよ．

【２】　座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし，$3$点$\mathrm{A}$$(2,2,-2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,-2,2)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-2,2,2)$をとる．線分$\mathrm{AB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}$線分$\mathrm{AC}$を$3:1$に外分する点を$\mathrm{E}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$2$点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$の座標をそれぞれ求めよ．

(2)　点$\mathrm{F}$を直線$\mathrm{DE}$上の点とし，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$のなす角$\theta$が$\cos \theta ={\displaystyle \frac{3\sqrt{7}}{14}}$を満たすとき，点$\mathrm{F}$の座標を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}\text{，}$$\{c_n\}$を次のように定める．

$a_1=3\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{3n}{n+1}}{a}_n-10$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$b_n=n{a}_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$c_n=b_{n+1}-b_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　次の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$b_1\text{，}$$b_2\text{，}$$b_3\text{，}$$c_1\text{，}$$c_2$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．

(3)　$c_{n+1}$を$c_n$を用いて表せ．

(4)　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}\text{，}$$\{c_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　次の不等式の表す領域を図示せよ．

$0<-(y+x-1)(y+x^2-6x+5)$$<(y+x-1)(y-3x^2+10x+5)$

(2)　(1)で図示した領域のうち$1\leqq x\leqq 4$を満たす部分の面積を求めよ．

【１】　座標平面の原点を$\mathrm{O}$とし，$2$点$\mathrm{A}$$({\displaystyle \frac{1}{2}},0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,{\displaystyle \frac{3}{4}})$をとり，単位円周上に点$\mathrm{P}$$(\cos \theta ,\sin \theta )$をとる．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\sin {\displaystyle \frac{\pi }{12}}\text{，}$$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{12}}\text{，}$$\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{12}}\text{，}$$\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　四角形$\mathrm{OAPB}$の面積$S$を$\theta$を用いて表せ．

(3)　${\displaystyle \frac{\pi }{12}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$のとき，$S$の最大値と最小値を求めよ．

【３】　式$A\text{，}$$B\text{，}$$C$を次のように定める．

$A=y^2-3x^{2}y+11xy+4y$$-3x^3+13x^2-5x-5$

$B=y^2+x^{2}y-5xy+4y$$+x^3-7x^2+11x-5$

$C=y+x-1$

次の問いに答えよ．

(1)　式$A\text{，}$$B\text{，}$$C$を$y$の整式とみて，$A\text{，}$$B$を$C$で割ったときの商をそれぞれ求めよ．

(2)　不等式$\log A>\log (-B)$が表す領域を$xy$平面上に図示せよ．

【４】　曲線$C$を$y=x^2{e}^x$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$の概形をかけ．

(2)　${\displaystyle \int }x{e}^x\mathit{dx}\text{，}$${\displaystyle \int }{x}^2{e}^x\mathit{dx}$をそれぞれ求めよ．

(3)　点$(t,0)$を通る曲線$C$の接線がちょうど$2$本存在するような$t$の値をすべて求めよ．

(4)　(3)で求めた$t$のうち$-1<t<0$を満たすものを$T$とする．点$(T,0)$を通る$2$本の接線と曲線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．

【５】　複素数$z$に対して，その共役複素数を$\bar{z}$とし，$i$を虚数単位とする．次の問いに答えよ．

(1)　次の式を因数分解せよ．

$z\bar{z}+\bar{\alpha }z+\alpha \bar{z}+\alpha \bar{\alpha }$

ただし，$\alpha$は複素数とする．

(2)　以下を満たす複素数$z$が存在するような複素数$\beta$の範囲を複素数平面上に図示せよ．

$z\bar{z}+(1-i+\bar{\beta })z+(1+i+\beta )\bar{z}=\beta$

(3)　$\left|\beta \right|\leqq 2$とする．複素数$z$が以下を満たすとき，$\left|z\right|$の最大値を求めよ．また，そのときの$\beta \text{，}$$z$を求めよ．

$z\bar{z}+(1-i+\bar{\beta })z+(1+i+\beta )\bar{z}=\beta$

【６】　数列$\{a_n\}$を次のように定める．関数$f(x)=x^2$とし，$a_1=10$とする．曲線$y=f(x)$の点$(a_n,f(a_n))$における法線と曲線$y=f(x)$との$2$つの交点を$(a_n,f(a_n))\text{，}$$(-a_{n+1},f(-a_{n+1}))$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．

(2)　すべての$n\geqq 1$に対して

$|a_n-\sqrt{n+99}|\leqq 1$

が成り立つことを示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{\sqrt{n}}}$を求めよ．