2022　新潟大学　推薦理学部数学プログラムMathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$a$は定数とする．次の関数の最大値を求めよ．

$y=-x^2-2ax+3a^2+2$$\text{（}0\leqq x\leqq 2\text{）}$

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　赤玉$3$個，白玉$6$個の入った袋から玉を$1$個取り出し，色を見てからもとにもどす．この試行を$5$回行うとき，白玉が$3$回以上出る確率を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　${\displaystyle \frac{7\pi }{12}}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$であることを用いて，$\sin {\displaystyle \frac{7\pi }{12}}$と$\cos {\displaystyle \frac{7\pi }{12}}$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　次の不等式をみたす$x$の値の範囲を求めよ．

${\log }_2(3-x)\geqq {\log }_2(x-1)+1$

【２】　平行四辺形$\mathrm{OACB}$において，$\mathrm{OA}=\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{OB}=1\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=120\mathrm{°}$とする．線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{OC}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{E}$とする．さらに，直線$\mathrm{BE}$と直線$\mathrm{DC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　平行四辺形$\mathrm{OACB}$の面積を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{DC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(4)　三角形$\mathrm{CEF}$の面積を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を$a_1=-2\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{7a_n+5}{a_n+3}}$で定める．次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{b_n\}$を$b_n={\displaystyle \frac{a_n-5}{a_n+1}}$で定めたとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【４】　関数$f(x)=\sqrt{1-x^2}-1+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$$\text{（}-1<x<1\text{）}$について，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$-1<x<1$のとき，不等式$f(x)\leqq 0$を証明せよ．

(3)　極限$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x^2}}$を求めよ．