2022　富山大学　前期MathJax

【１】　$n$は自然数とする．次の問いに答えよ．

(1)　$4^{3n-2}-1$を$9$で割ると$3$余ることを示せ．

(2)　$n^3+3n^2+2n-3$は$5$の倍数でないことを示せ．

【２】　自然数$n$に対して

$I_n={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}(1+x){\sin }^{n}x\mathit{dx}$

とおく．

(1)　$I_1$と$I_2$を求めよ．答えは値のみを記せばよい．

(2)　$n\geqq 3$のとき，等式$n^2{I}_n=(n-1)(n-2)I_{n-2}$が成り立つことを示せ．

(3)　$n\geqq 2$のとき，$I_{n-1}{I}_n$を$n$を用いて表せ．

(4)　$n\geqq 2$のとき，不等式$I_n<I_{n-1}$が成り立つことを示せ．

(5)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^3{I}_n^2$を求めよ．

【３】　$a$を正の定数として，実数全体で定義された関数

$f(x)={\displaystyle \frac{x+a}{x^2+3a^2}}$

を考える．

(1)　関数$f(x)$の増減を調べよ．また，関数$f(x)$の最大値，最小値，およびそれらを与える$x$の値を，それぞれ$a$を用いて表せ．

(2)　方程式$f(f(x))=0$が実数解をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

(3)　(2)で求めた$a$の値の範囲において，関数$f(f(x))$の最大値および最小値を，それぞれ$a$を用いて表せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　方程式

$(2m+n)(n+1)=132$

を満たす自然数の組$(m,n)$をすべて求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$1$個のさいころを$2$回投げ，$1$回目に出た目の数を$a\text{，}$$2$回目に出た目の数を$b$とする．このとき，$a$と$b$が不等式

${({\log }_{2}ab)}^2-3{\log }_2{a}^2{b}^2\geqq -5$

を満たす確率を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　実数$x$に対して，$x$を超えない最大の整数を$[x]$で表す．次の値を求めよ．

$\left[\sqrt{\sqrt[3]{3}+{\displaystyle \frac{2}{\sqrt[3]{3}-1}}}\right]$

【２】　自然数$n$に対して

$I_n={\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}(1+x){\sin }^{n}x\mathit{dx}$

とおく．

(1)　$I_1$と$I_2$を求めよ．

(2)　$n\geqq 3$のとき，等式$n^2{I}_n=(n-1)(n-2)I_{n-2}$が成り立つことを示せ．

(3)　$n\geqq 2$のとき，$I_{n-1}{I}_n$を$n$を用いて表せ．

【２】　数列$\{a_n\}$はすべての自然数$n$に対して

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k=n^3+{\displaystyle \frac{5}{2}}{n}^2-{\displaystyle \frac{639}{2}}n$

を満たすとする．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{10}}{a}_{6k}$の値を求めよ．

【３】　曲線$C_1\text{：}y=x^2\text{，}$$C_2\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-4x+17$を考える．

(1)　曲線$C_1$および$C_2$に接し，傾きが正である直線を$l$とする．$l$の方程式を求めよ．

(2)　$x>0$において，曲線$C_1\text{，}$$C_2$および(1)で求めた直線$l$で囲まれた図形の面積を求めよ．