2022　富山大学　後期理学部数学科MathJax

【１】　関数$f_n(x)$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$を

$f_1(x)=x^3\text{，}$

$f_{n+1}(x)=x+{\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle {\int }_0^1}{f}_n(x)\mathit{dx}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．

(1)　関数$f_2(x)\text{，}$$f_3(x)$を求めよ．

(2)　$n\geqq 2$のとき，関数$f_n(x)$を$n$と$x$の式で表せ．

【２】　$n$を$2$以上の自然数とする．$\mathrm{A}$チームと$\mathrm{B}$チームで野球の試合を繰り返し行い，先に$2$連勝したチームを優勝とする．$n$回試合を行っても優勝チームが決まらない場合は引き分けとする．ただし，$1$回の試合で$\mathrm{A}$チームが勝つ確率を${\displaystyle \frac{2}{5}}\text{，}$$\mathrm{B}$チームが勝つ確率を${\displaystyle \frac{3}{5}}$とする．

(1)　$2\leqq k\leqq n$のとき，ちょうど$k$試合目で$\mathrm{A}$チームが優勝する確率を$p_k$とする．$n=6$のとき，$p_5$および$p_6$を求めよ．

(2)　$j$を$2\leqq 2j-1\leqq n$を満たす自然数とする．このとき，$p_{2j-1}$を$j$の式で表せ．

(3)　$j$を$2\leqq 2j\leqq n$を満たす自然数とする．このとき，$p_{2j}$を$j$の式で表せ．

(4)　$\mathrm{A}$チームが優勝する確率を$q_n$とする．$n$が偶数で，$n=2m$と表されるとき，$\underset{m\to \infty }{\lim }{q}_{2m}$を求めよ．

【３】　$xy$平面上の$3$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(-1,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,4)$を考える．$0<t<1$の実数$t$に対して，線分$\mathrm{AO}$を$t:1-t$に内分する点を${\mathrm{P}}_t\text{，}$線分$\mathrm{OB}$を$t:1-t$に内分する点を${\mathrm{Q}}_t\text{，}$線分${\mathrm{P}}_t{\mathrm{Q}}_t$を$t:1-t$に内分する点を${\mathrm{R}}_t$とする．

(1)　点${\mathrm{P}}_t\text{，}$点${\mathrm{Q}}_t\text{，}$点$R_t$の座標をそれぞれ$t$を用いて表せ．

(2)　実数$t$が$0\leqq t\leqq 1$の範囲を動くとき，点${\mathrm{R}}_t$が描く曲線を$C$とする．ただし，点${\mathrm{R}}_0$は点$\mathrm{A}$とし，点${\mathrm{R}}_1$は点$\mathrm{B}$とする．曲線$C$を$y=f(x)$の形で表し，概形をかけ．ただし凹凸は調べなくてよい．

(3)　曲線$C\text{，}$直線$x=-1\text{，}$直線$x=2$および$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．