2022　富山大学　後期工，都市デザイン学部MathJax

【１】　関数$f(\theta )=2{\cos }^3-2\sin \theta {\cos }^2\theta$$-6\sin \theta \cos \theta$$-3\cos \theta$$-\sin \theta +3$について考える．$t=\sin \theta +\cos \theta$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，$0\leqq \theta \leqq \pi$とする．

(1)　$\sin \theta \cos \theta$を$t$を用いて表せ．

(2)　$f(\theta )$を$t$を用いて表せ．

(3)　$t$のとりうる値の範囲を求めよ．

(4)　$f(\theta )$の最大値と最小値を求めよ．

【２】　点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$を考える．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}$辺の長さ$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1\text{，}$角度$\mathrm{\angle AOB}=\mathrm{\angle BOC}=\mathrm{\angle COA}=\theta$とする．また，辺$\mathrm{OA}$を$s:(1-s)\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$t:(1-t)\text{，}$辺$\mathrm{OC}$を$u:(1-u)$に内分する点をそれぞれ，$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$とする．ただし，$0<s<1\text{，}$ $0<t<1\text{，}$$0<u<1$を満たす．$\theta \text{，}$$s\text{，}$$t\text{，}$$u$の中から適切なものを用いて，以下の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．

(2)　辺$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$が直交するとき，$t$を求めよ．

(3)　$s+t+u={\displaystyle \frac{5}{6}}\text{，}$$s^2+t^2+u^2={\displaystyle \frac{7}{18}}$のとき，${\left|\overrightarrow{\mathrm{DE}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{EF}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{FD}}\right|}^2$を$\theta$を用いて表せ．

【３】　$1$から$n$までの正の整数から無作為に異なる$3$つの整数を選び，記録する．これを試行$\mathrm{T}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$n=10$として試行$\mathrm{T}$を$1$回行ったとき，記録された$3$つの整数の最大値が$5$である確率を求めよ．

(2)　$n=10$として試行$\mathrm{T}$を$2$回行ったとき，記録された$6$つの整数の最大値が$5$である確率を求めよ．

(3)　試行$\mathrm{T}$を$1$回行ったとき，記録された$3$つの整数のうち，$2$つのみが連続する整数（例えば$4$と$5$と$9\text{）}$である確率を$n$を用いて表せ．ただし，$n\geqq 4$とする．

(4)　試行$\mathrm{T}$を$2$回行ったとき，$2$回目の試行で記録された$3$つの整数のうち，$1$つの整数のみが$1$回日の試行で記録された整数のいずれかと一致する確率を$n$を用いて表せ．ただし，$n\geqq 5$とする．