2022　富山大学　後期生命工学コース総合問題MathJax

【１】　以下の文章を読み，各問いに答えよ．

　$xy$平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円がある．$x$軸の正の向きに対して角度$\theta$$(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$で原点$\mathrm{O}$から引いた直線と円との交点を$\mathrm{A}$とし，$x$軸と円との交点$(1,0)$を$\mathrm{B}$とする．また，点$\mathrm{A}$における円の接線と$x$軸との交点を$\mathrm{C}\text{，}$$y$軸との交点を$\mathrm{D}$とする．

(1)　線分$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

(2)　線分$\mathrm{CD}$の長さを求めよ．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S_A\text{，}$三角形$\mathrm{DOC}$の面積を$S_B$とする．${\displaystyle \frac{S_A}{S_B}}$を$\theta$の関数として，その極値を調べよ．

(4)　線分$\mathrm{AB}$と弧$\mathrm{AB}$で囲まれた領域の面積を$S_C$とする時，$\underset{\theta \to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{S_C}{\theta }}$を求めよ．