2022　富山大学　後期都市デザイン学部総合問題MathJax

【２】　$3$次元空間$xyz$に$3$点$\mathrm{A}$$(0,0,2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,-2,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(1,1,2)$を通る平面$S$がある．この平面上に，点$\mathrm{A}$を中心とする半径$2$の円$M$を考える．円$M$上に点$\mathrm{P}$をとり，点$\mathrm{P}$から$xy$面におろした垂線の足を点$\mathrm{Q}$とする．また，点$\mathrm{P}$を通り平面$S$に垂直な直線$l$を考え，直線$l$と$xy$面の交点を点$\mathrm{R}$とする．

　このとき，次の各問に答えよ．

問(1)　平面$S$の方程式を求めよ．

問(2)　点$\mathrm{P}$が円$M$の上を一周したとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡はだ円を描く．このだ円$M^{\prime }$の方程式を求めよ．

問(3)　だ円$M^{\prime }$の長軸が$x$軸となす角$\theta$$(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$および長軸の長さを求めよ．

問(4)　点$\mathrm{P}$が円$M$の上を一周したとき，線分$\overline{\mathrm{PR}}$の長さが最大となる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．また$\overline{\mathrm{PR}}$の最大値を求めよ．