2022　富山大学　推薦理学部数学科MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　実数$x\text{，}$$y$が次の$\text{①}$を満たすとき，$y$を$x$の整式で表せ．

${\log }_5(x+5)+{\log }_5(x-1)-{\log }_5(2x+y)=1$$\cdots \text{①}$

(2)　実数$x\text{，}$$y$が$\text{①}$と次の$\text{②}$をともに満たすとき，不等式$2x^3-9x^2-3x-15<0$が成り立つことを示せ．

${\log }_5(x-1)+{\log }_5(x+2y)<1$$\cdots \text{②}$

(3)　整数$x\text{，}$$y$が$\text{①}$と$\text{②}$をともに満たすとき，$x\text{，}$$y$の値を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$は，$\mathrm{\angle A}=\theta \text{，}$$\mathrm{\angle B}=4\theta \text{，}$$\mathrm{\angle C}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の直角三角形で，辺$\mathrm{BC}$の長さが$1$であるとする．

(1)　辺$\mathrm{AB}$の長さを$x$とおく．このとき，$x^3-4x^2+8=0$が成り立つことを示し，辺$\mathrm{AB}$の長さを求めよ．

(2)　$\cos 2\theta$の値を求めよ．

(3)　自然数$n$に対して，$\cos n\theta =-\cos (n-10)\theta$が成り立つことを示せ．

(4)　$\cos 1026\theta$の値を求めよ．