2022　金沢大学　前期　文系MathJax

【１】　関数$f(x)=-x^3+3x^2+x-3$について，次の問いに答えよ．

(1)　$3$次方程式$f(x)=0$を解け．

(2)　$y=f(x)$の接線で傾きが$1$であるものを，すべて求めよ．

(3)　(2)で求めた接線のうち，$y$切片が正のものを$l$とする．$x$抽，$y$軸，$y=f(x)$および$l$で囲まれる図形の面積を求めよ．

【２】　平面上の$\mathrm{▵OAB}$で，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\sqrt{2}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=1$となるものを考え，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に下ろした垂線と$\mathrm{OA}$の交点を$\mathrm{H}$とする．また$t$を実数とし，$\overrightarrow{\mathrm{BP}}=t\overrightarrow{\mathrm{BH}}$となる点$\mathrm{P}$をとる．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{H}$は辺$\mathrm{OA}$の中点であることを示せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$t$を用いて表せ．

　以下において，$\mathrm{P}$は$\mathrm{▵OAB}$の外接円の中心であるとする．

(3)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|}^2=x$とするとき，$t$を$x$を用いて表せ．

(4)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=\sqrt{2}\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|$を満たすとき，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|$の値を求めよ．

【３】　$m$は自然数とする．数列$\{a_n\}$を初項から順に，第$m$群が連続した$12m-6$個の項からなるように群に分ける．第$m$群の最後の項は数列$\{a_n\}$の第$t_m$項であるとする．次の問いに答えよ．

(1)　第$2$群の最初の項と最後の項は，数列$\{a_n\}$のそれぞれ何番目の項か．

(2)　$t_m$を$m$を用いて表せ．

(3)　$a_{2022}$が第$k$群に含まれるとき，$k$を求めよ．

(4)　数列$\{a_n\}$を，初項が整数$c$で公差が$1$の等差数列とするとき，

${\displaystyle \sum _{n=1}^{t_m}}{a}_n=48$

を満たす$c$と$m$を求めよ．