2022　金沢大学　前期　理系MathJax

【１】　方程式$x^4+4=0$について，次の問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位とする．

(1)　複素数$-4$を極形式で表し，$z^4+4=0$を満たす複素数をすべて求めよ．

(2)　${\left|w\right|}^2=3$を満たす素数$w$と，$z^4+4=0$を満たす素数$\alpha$について，

${|\alpha +iw|}^2+{|\alpha -iw|}^2$

を求めよ．

(3)　$t$を実数とする．複素数平面における円$|z-t-5i|=5$の内部（ただし，境界線を含まない）に，$z^4+4=0$を満たす複素数がちょうど$1$つ含まれるように，$t$の範囲を定めよ．

【２】　$k$を正の実数とし，$x>0$で定義された関数$y=k{(\log x)}^2$のグラフを$C$とする．$y$軸上に点$\mathrm{A}$$(0,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}e)$をとる．ただし，$e$は自然対数の底である．次の問いに答えよ．

(1)　$C$上の点$(p.k{(\log p)}^2)$における接線の方程式を求めよ．

(2)　点$\mathrm{A}$を通って，$C$にちょうど$2$本の接線が引けることを示せ．

(3)　点$\mathrm{A}$を通る$C$の$2$本の接線が垂直に交わるような$k$の値を求めよ．さらに，それぞれの接点の$x$座標$p\text{，}$$q$を求めよ．ただし，$p<q$とする．

(4)　(3)で求めた$k\text{，}$$p\text{，}$$q$に対し，定積分

${\displaystyle {\int }_p^q}k{(\log x)}^2\mathit{dx}$

を求めよ．

【３】　実数$p\text{，}$$q$を係数とする$2$次方程式$x^2+px+q=0$が，実数解$\alpha \text{，}$$\beta$をもち，${\alpha }^2+{\beta }^2-\alpha \beta =3$を満たすとする．ただし，$\alpha \leqq \beta$とする．このとき，

$M={\displaystyle \frac{\alpha \beta }{({\alpha }^2+1)({\beta }^2+1)}}$

を$q$の式で表し，$M$のとりうる最大値および最小値と，そのときの$\alpha \text{，}$$\beta$の値を求めよ．

【４】　自然数$n$の正の約数全体の集合を$A_n$とし，$A_n$のすべての要素の逆数の$2$乗の和を$s_n$とする．例えば，

$A_3=\{1,3\}\text{，}$$s_3=1+{\displaystyle \frac{1}{3^2}}\text{，}$$A_4=\{1,2,4\}\text{，}$$s_4=1+{\displaystyle \frac{1}{2^2}}+{\displaystyle \frac{1}{4^2}}$

である．$p$と$q$は異なる素数とし，$k$と$l$は自然数とする．次の問いに答えよ．

(1)　$s_8\text{，}$$s_{12}$の値を求めよ．

(2)　$n=p^k$について，$A_n$の要素の個数を求めよ．

(3)　$n=p^k{q}^l$について，$s_n<{\displaystyle \frac{3}{2}}$を示せ．