2022　福井大学　前期MathJax

【１】　次の条件によって定められる$2$つの数列$\{x_n\}\text{，}$$\{y_n\}$がある．

$\{\begin{array}{l}{x}_1=1\\ y_1=0\end{array}\text{，}$$\{\begin{array}{c}{x}_{n+1}=a{x}_n-b{y}_n\\ y_{n+1}=b{x}_n+a{y}_n\end{array}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

ただし，$a\text{，}$$b$は，$a^2+b^2=1$を満たす実数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　すべての自然数$n$について$x_n^2+y_n^2=1$が成り立つことを証明せよ．

(2)　$x_4=x_1$が成り立つ実数の組$(a,b)$をすべて求めよ．

(3)　(2)で求めた実数の組$(a,b)$のうち$b>0$を満たす$(a,b)$に対し，$\{y_n\}$の第$1234$項$y_{1234}$を求めよ．

【２】　$2$つの関数$f(x)={\displaystyle \frac{a}{x}}$と$g(x)={\displaystyle \frac{\log (bx)}{x}}$について，曲線$y=g(x)$と$x$軸との交点の$x$座標を$p\text{，}$$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標を$q$とおく．ただし，$a\text{，}$$b$は正の実数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$p\text{，}$$q$を求めよ．

(2)　関数$g(x)$の極値を求めよ．また，曲線$y=g(x)$の変曲点を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=p\text{，}$$x=q$とで囲まれる部分の面積を$S_1\text{，}$曲線$y=g(x)$と$x$軸および直線$x=q$とで囲まれる部分の面積を$S_2$とする．このとき，${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$を求めよ．

【３】　$xy$平面上を移動する点$\mathrm{P}$を考える．最初，$\mathrm{P}$は原点$(0,0)$にあり，次の$2$つの規則に従って$6$回移動する．

規則１：$\mathrm{P}$が直線$y=2$上にないときは，確率$p$で$x$軸方向に$+1$だけ移動し，確率$1-p$で$y$軸方向に$+1$だけ移動する．ただし，$0<p<1$とする．

規則２：$\mathrm{P}$が直線$y=2$上にあるときは，確率$1$で$x$軸方向に$+1$だけ移動する．

例えば，$\mathrm{P}$が点$(3,1)$にあるときは，確率$p$で点$(4,1)$に移動し，確率$1-p$で点$(3,2)$に移動する．また，$\mathrm{P}$が点$(2,2)$にあるときは，確率$1$で点$(3,2)$に移動する．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$が点$(5,1)$に到達する確率を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$が点$(4,2)$に到達する確率を求めよ．

(3)　$\mathrm{P}$が点$(4,2)$に到達したとき，点$(3,1)$を通過していた条件付き確率を求めよ．

【４】　空間内に$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．$\mathrm{▵OAC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，点$\mathrm{G}$と点$\mathrm{B}$の中点を$\mathrm{D}$とおく．$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る直線を$m$とし，$2$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{C}$を通る直線を$n$とする．空間内で$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}+x\overrightarrow{\mathrm{OC}}$$\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$で与えられる点を$\mathrm{P}$とおく．点$\mathrm{P}$を通り，直線$m\text{，}$$n$の両方に交わる直線を$l$とし，直線$l$と$m$との交点を$\mathrm{M}\text{，}$直線$l$と$n$との交点を$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$と表すとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$で表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$x$で表せ．

(3)　$x$が$0\leqq x\leqq 1$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{MN}$が動いてできる図形の面積$S$を求めよ．

【１】　数列$\{a_n\}$は，$a_1=1\text{，}$$a_2=1\text{，}$$a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$を満たす．複素数$z_n$を

$z_n=\cos {\displaystyle \frac{2\pi a_n}{3}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi a_n}{3}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と定める．ただし，$i$は虚数単位である．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$|z_3-z_2|$の値を求めよ．

(2)　$z_n\ne {\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）}$であることを示せ．

(3)　$z_1\text{，}$$z_2\text{，}\cdots \text{，}$$z_{100}$のうち，実数であるものの個数を求めよ．

【３】　曲線$x^3-2xy+y^2=0$のうち，$x\geqq 0$を満たす部分を$C$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$C$上の点の$x$座標がとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　$C$上の点の$y$座標がとり得る値の範囲を求めよ．

(3)　$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【４】　$xyz$空間内に$3$点$\mathrm{A}$$(2,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-1,\sqrt{3},0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-1,-\sqrt{3},0)$がある．$0<\theta <{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$とし，$xy$平面上で原点を中心として，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を$\theta$だけ回転させた点をそれぞれ$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$とする．回転の向きは，$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$\mathrm{D}$の座標が$(0,2,0)$となるように定める．さらに$3$点$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$を$x$軸方向に$6$だけ平行移動した点をそれぞれ$\mathrm{X}\text{，}$$\mathrm{Y}\text{，}$$\mathrm{Z}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\theta ={\displaystyle \frac{5}{12}}\pi$のとき，点$\mathrm{Y}$の座標を求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{ABX}$の面積の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

(3)　三角形$\mathrm{XYZ}$の重心を$\mathrm{G}$とする．四面体$\mathrm{GABC}$に内接する球の半径$r$を求めよ．

【１】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{a_n+3}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

以下の問いに答えよ．

(1)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}$とおくとき，$b_{n+1}$を$b_n$の式で表せ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$a_{11}$を小数で表したとき，初めて$0$でない数字が現れるのは小数第何位か答えよ．もし必要なら，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$を使用してもよい．

【４】　$t$は実数で，$0\leqq t\leqq \pi$とする．$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を

$\mathrm{P}$$(4\cos t+3,2\cos t\cos 2t-2)\text{，}$$\mathrm{Q}(-2\cos t-1,-2\sin t\sin 2t)$

と定め，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{R}$とおく．$t$が$0\leqq t\leqq \pi$の範囲を動くときの点$\mathrm{R}$の軌跡を$C$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．

(2)　点$\mathrm{R}$の座標を$(X,Y)$とおくとき，$Y$を$X$の式で表せ．また，$X$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$C$と$x$軸とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

【５】　$2$つの関数$f(x)={\displaystyle \frac{2}{x}}$と$g(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$について，曲線$y=g(x)$と$x$軸との交点の$x$座標を$a\text{，}$$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の交点の$x$座標を$b$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

(2)　関数$g(x)$の極値を求めよ．また，曲線$y=g(x)$の変曲点を求めよ．

(3)　$2$曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$と直線$x=a$とで囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

【４】　あるクラスの$10$人$\text{（}\mathrm{A}\text{〜}$$\mathrm{J}\text{）}$に対して，$20$点満点のテストを$2$回行い，その結果を比較したい．以下の問いに答えよ．ただし，$1$回目のテストの得点を変量$x$（単位：点），$2$回目のテストの得点を変量$y$（単位：点）とし，それぞれのデータの平均値を$\bar{x}\text{，}$$\bar{y}$とする．

(1)　次の表は，$1$回目のテストの結果$x$とその偏差の$2$乗${(x-\bar{x})}^2$を計算した結果である．

	$\mathrm{A}$	$\mathrm{B}$	$\mathrm{C}$	$\mathrm{D}$	$\mathrm{E}$	$\mathrm{F}$	$\mathrm{G}$	$\mathrm{H}$	$\mathrm{I}$	$\mathrm{J}$
$x$	$14$	$a$	$12$	$12$	$13$	$11$	$9$	$14$	$12$	$b$
${(x-\bar{x})}^2$	$1$	$16$	$1$	$1$	$0$	$4$	$16$	$1$	$1$	$c$

(ⅰ)　$\bar{x}$の値を求めよ．

(ⅱ)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値をそれぞれ求めよ．

(ⅲ)　$x$の分散を求めよ．

(2)　次の表は，$2$回目のテストの結果$y$とその偏差の$2$乗${(y-\bar{y})}^2$を計算した結果である．$y$の平均値$\bar{y}\text{，}$分散，標準偏差をそれぞれ求めよ．

	$\mathrm{A}$	$\mathrm{B}$	$\mathrm{C}$	$\mathrm{D}$	$\mathrm{E}$	$\mathrm{F}$	$\mathrm{G}$	$\mathrm{H}$	$\mathrm{I}$	$\mathrm{J}$
$y$	$19$	$20$	$15$	$16$	$15$	$16$	$13$	$16$	$14$	$16$
${(y-\bar{y})}^2$	$9$	$16$	$1$	$0$	$1$	$0$	$9$	$0$	$4$	$0$

(3)　$x$と$y$の相関係数を求めよ．ただし，小数第$3$位を四捨五入して，小数第$2$位まで答えよ．

(4)　$1$回目と$2$回目のテスト結果を比較してわかることを，平均値，分散・標準偏差，相関係数を用いて記述せよ．