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2022-10381-0201
2022 福井大学 後期
工学部
易□ 並□ 難□
【1】 以下の問いに答えよ.
(1) -π<θ <π のとき,
sin ⁡θ1 +cos⁡θ =tan ⁡θ 2
であることを示せ.
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(2) AB=3 , BC=4 , CA=5 となる ▵ABC の ∠A の二等分線と辺 BC との交点を D とおくとき,線分 BD の長さを求めよ.
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【2】 以下の問いに答えよ.
(1) 次の条件によって定められる数列 { an } の一般項を求めよ.
a1 =1 , an+ 1= an 3n⁢ an+6 (n =1 ,2 ,3 ,⋯ )
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(2) O を原点とする x ⁣y⁣z 空間において, x 軸上の点 ( h,0, 0) を通り, x 軸に垂直な平面上に一直線上にない 3 点 A , B , C がある ( h>0 ). ここで,三角形 ABC の面積を T とおく.また, x 軸上の点 ( x,0, 0) を通り, x 軸に垂直な平面と四面体 OABC との共通部分として得られる三角形の面積を S ⁡(x ) とおく ( 0<x≦h ).
v= ∫ab S⁡ (x )⁢dx
とおくとき, V を a , b , h , T を用いて表せ.ただし, 0<a <b≦h とする.
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【3】 O を原点とする x ⁣y⁣z 空間内に, 2 点 A (2, 0,3 ) および B (0, 4,3 ) があり,点 P は線分 AB を t :1-t に内分する点である ( 0<t< 1 ). 点 P から x 軸に下ろした垂線と x 軸との交点を Q , 点 P から y 軸に下ろした垂線と y 軸との交点を R , 点 P から z 軸に下ろした垂線と z 軸との交点を S とする.また,原点 O から,平面 QRS に下ろした垂線と,平面 QRS との交点を T とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 点 P の座標を, t を用いて表せ.
(2) 四面体 OQRS の体積が最大となる t の値と,そのときの体積の値を求めよ.
(3) 四面体 OQRS の体積が最大のとき,線分 OT の長さを求めよ.
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【4】 媒介変数 t を用いて,
{ x=log ⁡t y= 12 ⁢(t +1 t) ( t>0 )
と表される x ⁣y 平面上の曲線を C とするとき,以下の問いに答えよ.
(1) dy dx を, t を用いて表せ.また, t>1 のとき, dy dx の値の符号を調べよ.
(2) 曲線 C の一部 ( 1≦ t≦2 ) の長さを求めよ.
(3) 曲線 C と直線 y = 54 で囲まれた部分の面積を求めよ.