2022　山梨大学　前期MathJax

【１】(1)　方程式${\log }_2|x^2-3x+2|$$+{\log }_2|x^2-5x+6|$$=2{\log }_2(x-2)$を解け．

【１】(2)　複素数平面において，点$z$が$\left|z\right|=2$$\text{（}z\ne 2\text{）}$で表される図形上を動くとき，複素数$w={\displaystyle \frac{z+2}{z-2}}$で表される点$w$は，どのような図形を描くか．

【１】(3)　定積分${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3}{4}\pi }}\sqrt{{\sin }^{2}x+1}\sin 2x\mathit{dx}$を求めよ．

【２】　座標平面上に原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}$$(1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-1,\sqrt{3})$がある．線分$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{C}$とする．また，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$と同じ向きの単位ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{e_1}\text{，}$$\overrightarrow{e_2}\text{，}$$\overrightarrow{e_3}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{e_2}\text{，}$$\overrightarrow{e_3}$の成分表示をそれぞれ求めよ．

(2)　$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$があり，それらの位置ベクトルが$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{e_1}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=t\overrightarrow{e_2}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=u\overrightarrow{e_3}$であるとする．ただし$s\text{，}$ $t\text{，}$$u$は正の実数である．この$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$が同一直線上にあるとき，$u$を$s$と$t$で表せ．

(3)　(2)の$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$について，点$\mathrm{R}$が線分$\mathrm{PQ}$の中点であるとき，$t\text{，}$$u$をそれぞれ$s$で表せ．

【３】　$a$を実数とする．$xy$平面上の曲線$C\text{：}y=x{e}^{-x}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$C$の接線で，点$(4,0)$を通るものの方程式を求めよ．

(2)　$C$の接線で，点$(a,0)$を通るものが存在しないような$a$の値の範囲を求めよ．

(3)　$a>4$である任意の$a$に対し，$C$の接線で，点$(a,0)$を通り，接点の$x$座標が$1$と$2$の間にあるものが存在することを示せ．

【４】　関数$f(x)$を$f(x)=\log (1+{\displaystyle \frac{1}{2x}})$$\text{（}x>0\text{）}$とする．また，数列$\{I_n\}$を次の式で定める．

$I_n={\displaystyle \frac{2n+1}{2n}}\cdot {\displaystyle \frac{2n-1}{2n-2}}\cdot \cdots \cdot {\displaystyle \frac{5}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{2}}$$\text{(}n=1\text{，}2\text{，}3\text{．}\cdots \text{）}$

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\log I_n=f(n)+f(n-1)+\cdots +f(2)+f(1)$が成り立つことを示せ．

(2)　関数$f(x)$の正負および増減を調べよ．また，正の整数$k$に対して，不等式${\displaystyle {\int }_k^{k+1}}f(x)\mathit{dx}<f(k)$が成り立つことを示せ．

(3)　$n$を正の整数とする．このとき，不等式${\displaystyle {\int }_1^{n+1}}f(x)\mathit{dx}<\log I_n$が成り立つことを示せ．

(4)　$n$を正の整数とする．このとき${\displaystyle {\int }_1^n}f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

(5)　次の不等式が成り立つことを示せ．

$\sqrt{3}{I}_n>{\displaystyle \frac{2}{3}}\sqrt{2n+3}{(1+{\displaystyle \frac{1}{2n+2}})}^{n+1}$

【１】　次の問いに答えよ．答えだけでなく，どのように考えたのか，途中の計算および説明も書け．

(1)　$6$以上$2022$以下の$3$の倍数のうちで$3$で割った商を素因数分解したとき，$2$以外の素因数をもたないものを考える．そのような$3$の倍数すべての和を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．答えだけでなく，どのように考えたのか，途中の計算および説明も書け．

(3)　正三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{E}$があり，$\mathrm{\angle CBD}=15\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle BDE}=30\mathrm{°}$である．このとき，${\displaystyle \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BD}}}$の値を求めよ．

【２】　$xy$平面上の放物線$C\text{：}y=4-x^2$に対し，$C$上に$2$点$\mathrm{P}$$(-t,4-t^2)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(t,4-t^2)$をとる．ただし，$0<t<2$とする．また，$C$と$x$軸との交点で$x$座標が負であるものを$\mathrm{A}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{APQ}$の面積$S$が最大となるときの$t$の値を求めよ．また，そのときの最大値を求めよ．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$と放物線$C$で囲まれた部分の面積を$T_1$とし，線分$\mathrm{AP}$と$C$で囲まれた部分の面積を$T_2$とする．$T=T_1+2T_2$が最小となるときの$t$の値を求めよ．また，そのときの最小値を求めよ．