2022　山梨大学　後期MathJax

【１】　次の問題文の空欄$\text{ア}$から$\text{コ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(1)　次の$4$つの命題の真偽を調べると，命題１「有理数と有理数の和は有理数である」は$\text{ア}\text{，}$命題２「正の無理数と正の無理数の和は無理数である」は$\text{イ}\text{，}$数列$\{a_n\}$に関する命題３「$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0⟹{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$は収束する」は$\text{ウ}$であり，命題３の逆は$\text{エ}$である．（解答は「真」または「偽」で答えよ．）

【１】　次の問題文の空欄$\text{ア}$から$\text{コ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(2)　鈍角三角形の$3$辺の長さが$x\text{，}$$x+2\text{，}$$x+5$であるとき，$x$のとりうる値の範囲は$\text{オ}<x<\text{カ}$である．

【１】　次の問題文の空欄$\text{ア}$から$\text{キ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(3)　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$があり，辺の長さはそれぞれ$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{BC}=4\text{，}$$\mathrm{CD}=5\text{，}$$\mathrm{DA}=6$である．このとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$\text{キ}$である．

【１】　次の問題文の空欄$\text{ア}$から$\text{コ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(4)　大，中，小$3$個のさいころを投げたとき，出た目の数をそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とする．$a=b+c$となる確率は$\text{ク}$であり，$a\leqq b\leqq c$となる確率は$\text{ケ}$である．

【１】　次の問題文の空欄$\text{ア}$から$\text{コ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(5)　平面上の$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$が$|3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=2$と$|2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|=1$を満たすとき，内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の最大値は$\text{コ}$である．

【２】　次の問題文の空欄$\text{サ}$から$\text{タ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(1)　$x_n=10+{\displaystyle \frac{n}{10}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$10\text{）}$であるデータ$x_1\text{，}$$x_2\text{，}\cdots \text{，}$$x_{10}$の分散を小数で表すと$\text{サ}$である．また，$y_n=x_n^3$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$10\text{）}$であるデータ$y_1\text{，}$$y_2\text{，}\cdots \text{，}$$y_{10}$の平均値を小数で表すと$\text{シ}$である．

【２】　次の問題文の空欄$\text{サ}$から$\text{タ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(2)　自然数$n$に対して，$I_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}}}{(1-x^2)}^{-\frac{n}{2}}\mathit{dx}$とする．このとき，$I_3=\text{ス}$であり，$I_7=\text{セ}$である．

【２】　次の問題文の空欄$\text{サ}$から$\text{タ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(3)　$i$は虚数単位とする．$z=\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{9}}+i\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{9}}$のとき，$z^7-5z^6+z^4-5z^3+z+7=\text{ソ}$である．

【２】　次の問題文の空欄$\text{サ}$から$\text{タ}$にあてはまるものを解答欄に記入せよ．

(4)　$xyz$空間において，点$\mathrm{P}$$(0,-1,2)$を中心とする半径$5$の球面およびその内部を$S\text{，}$点$\mathrm{Q}$$(\sqrt{3},1,-1)$を中心とする半径$5$の球面およびその内部を$T$とする．$S$と$T$の共通部分の体積は$\text{タ}$である．

【３】　自然数$n$に対して，$xyz$空間の$n^3$個の点からなる集合

【４】　$xy$平面上の楕円$C\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$$\text{（}a>b>0\text{）}$を考える．$C$の$2$つの焦点を${\mathrm{F}}_1\text{，}$${\mathrm{F}}_2$とする．また，$C$上に$-a<p<a$となる点$\mathrm{P}$$(p,q)$をとり，$\mathrm{P}$における接線を$l$とする．点${\mathrm{F}}_1\text{，}$${\mathrm{F}}_2$から直線$l$に垂線を下ろし，交点をそれぞれ${\mathrm{H}}_1\text{，}$${\mathrm{H}}_2$とする．このとき，$\mathrm{▵}{\mathrm{F}}_1\mathrm{P}{\mathrm{H}}_1$と$\mathrm{▵}{\mathrm{F}}_2\mathrm{P}{\mathrm{H}}_2$は相似であり，$\mathrm{\angle }{\mathrm{F}}_1\mathrm{P}{\mathrm{H}}_1=\mathrm{\angle }{\mathrm{F}}_2\mathrm{P}{\mathrm{H}}_2$であることを示せ．ただし，点${\mathrm{H}}_1\text{，}$${\mathrm{H}}_2$は点$\mathrm{P}$と異なることを認めてよい．

【５】　$xy$平面上に曲線$C\text{：}y=x^2-2x+2$$\text{（}0<x<1\text{）}$がある．$C$上の点$\mathrm{P}$における接線を$l$とする．$x$軸と$l$との交点を$\mathrm{A}\text{，}$$y$軸と$l$との交点を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき，$R={\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}}$の最大値を求めよ．