2022　信州大学　前期　教育学部MathJax

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　$\theta$を実数としたとき，$\tan (2\theta )$および$\tan (3\theta )$を，$\tan \theta$を用いて表しなさい．

(2)　$\tan {\displaystyle \frac{\pi }{8}}$および$\tan {\displaystyle \frac{3\pi }{8}}$の値を求めなさい．

(3)　$X$についての$3$次方程式

$X^3-3(1+\sqrt{2})X^2-3X+1+\sqrt{2}=0$

の実数解をすべて求めなさい．

【２】　次の問いに答えなさい．

(1)　平面上に$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{O}$は平面の原点，$\mathrm{A}$は$\mathrm{O}$とは異なる定点である．点$\mathrm{P}$は$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=3\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|$を満たすように動く．このとき点$\mathrm{P}$の軌跡を求めなさい．

(2)　空間内の$2$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)$と$\mathrm{A}$$(1,2,2)$に対して，点$\mathrm{P}$は$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=3\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|$を満たすように動く．$\mathrm{\angle POA}$が最大になるときの$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$の値を求めなさい．

【３】　関数$y=\left|x\right|\sqrt{|x-1|}$の極値をすべて求めなさい．

【４】　次の定積分を求めなさい．

${\displaystyle {\int }_e^{e^2}}{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{x\{\log (x^3)+1\}\log x}}$

ただし，$\log x$は自然対数とする．