2022　信州大学　前期　経法，工，医MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　平面上の三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{O}$とするとき，

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}={\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|}^2$

が成り立つことを示せ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積を表す．

(2)　平面上の$5$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{S}\text{，}$$\mathrm{T}$について，四角形$\mathrm{PQRS}$は$\mathrm{PS}=\mathrm{QR}$かつ$\mathrm{PS}⫽\mathrm{QR}$を満たし，

$\overrightarrow{\mathrm{TP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{TR}}=\overrightarrow{\mathrm{TQ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{TS}}$

が成り立つとする．このとき，四角形$\mathrm{PQRS}$は長方形であることを示せ．

【２】　ボタンを$1$回押すたびに$0$から$9$の$10$個の整数のうちの$1$つを表示する装置がある．どの整数が表示されるかは同様に確からしいとする．この装置を用いて次のルールでゲームをする．

・まず，$2$回続けてボタンを押して，表示された整数を順に$X\text{，}$$Y$とする．

・この$X$と$Y$が$|X-Y|\leqq 1$を満たすならば失敗で，それ以上ボタンを押すことはできないが，$|X-Y|\geqq 2$を満たすならばもう$1$回ボタンを押すことができるとする．

・$3$回目に表示された整数を$Z$として，この$Z$が$X<Z<Y$または$Y<Z<X$を満たすときは成功で，それ以外は失敗とする．

　このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　ボタンを$3$回押すことができる確率を求めよ．

(2)　ゲームに成功する確率を求めよ．

【３】　$m$は実数とする．$x$の$2$次方程式

$x^2-(m+2)x+2m+4=0$

の$-1\leqq x\leqq 3$の範囲にある実数解がただ$1$つであるとき，$m$の値の範囲を求めよ．ただし，重解の場合，実数解の個数は$1$つと数える．

【４】　以下の問いに答えよ．ただし，実数$x$に対して，$\left[x\right]$は$x$を超えない最大の整数を表すとする．

(1)　$k$は整数とする．$\left[{\displaystyle \frac{x}{2}}\right]=k$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．

[2]　$\left[{\displaystyle \frac{x}{2}}\right]=\left[{\displaystyle \frac{x}{3}}\right]=1$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．

(3)　$\left[{\displaystyle \frac{x}{2}}\right]=\left[{\displaystyle \frac{x}{3}}\right]$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．

【５】　$p$は正の実数とする．関数$f(x)$は，すべての実数$x$について$f(x+p)=f(x)$を満たし，$0\leqq x\leqq p$において

$f(x)={\displaystyle \frac{p}{2}}-|x-{\displaystyle \frac{p}{2}}|$

であるとする．また，

$I_k={\displaystyle {\int }_{p(k-1)}^{pk}}{e}^{-x}f(x)\mathit{dx}$$\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$I_1$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{I_k}{I_1}}$を求めよ．

(3)　$n$は自然数とする．$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^{pn}}{e}^{-x}f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

【６】　$2$次の項の係数がともに正の$2$次関数$f(x)\text{，}$$g(x)$について，座標平面上の放物線$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$をそれぞれ$C_1\text{，}$$C_2$とする．また，直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}x$を$l$とする．$C_1$と$l$は点$(0,0)$で，$C_2$と$l$は点$(4,2)$で接し，$C_1$と$C_2$は点$({\displaystyle \frac{4}{3}},{\displaystyle \frac{22}{9}})$で交わるとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$と$g(x)$を求めよ．

(2)　放物線$C_1$の$x\geqq 0$の部分と放物線$C_2$および直線$l$によって囲まれる図形を，$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

【７】　$a_1=a_2=1$を満たす数列$\{a_n\}$について，次の$2$つの条件$p$と$q$が同値であることを示せ．

$p$：すべての自然数$n$に対して，$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$が成り立つ．

$q$：すべての自然数$n$に対して，$a_{n+1}^2-a_{n+2}{a}_n={(-1)}^n$が成り立つ．