2022　信州大学　前期　理（数学科）学部MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　定積分

${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{2\pi }{3}}}{\displaystyle \frac{1}{1+\cos x}}\mathit{dx}$

を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　$n$を自然数とする．$x\geqq 0$に対し，不等式

$\log (1+x)\geqq {\displaystyle \sum _{k=1}^{2n}}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{k-1}}{k}}{x}^k$

を示せ．

【２】　$a$を正の実数とする．$2$つの放物線

$C_1\text{：}y=x^2$

$C_2\text{：}x=y^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}a$

を考える．直線$l$が$C_1$にも$C_2$にも接するとき，直線$l$は$C_1$と$C_2$の共通接線であるという．ただし，接点は異なっていてもよい．

(1)　実数$s\text{，}$$t$に対し，直線$l\text{；}y=tx+s$が$C_1$と$C_2$の共通接線であるとき，$a$を$t$のみを用いて表せ．

(2)　$2$つの放物線$C_1$と$C_2$が，相異なる$3$本の共通接線を持つとき，$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

【３】　$a$を実数とする．関数$f(x)=x|x-1|$の$a\leqq x\leqq a+1$における最大値と最小値を求めよ．

【４】　$n$を自然数とし，$x$に関する整式$P(x)={\displaystyle \sum _{k=1}^n}k{x}^{k-1}$を考える．ただしここで．$x^0=1$と定める．

(1)　$P(1)$と$P(2)$を求めよ．

(2)　$P(x)$を$x^2-3x+2$で割った余りを求めよ．

【５】　区間$[1,\infty )$で定義された次の関数$f(x)$と$g(x)$を考える．

$g(x)={\displaystyle {\int }_1^x}{e}^{-\frac{y^2}{2}}\mathit{dy}\text{，}$$f(x)=g(x)+{\displaystyle {\int }_1^x}{y}^{-2}{e}^{-\frac{y^2}{2}}\mathit{dy}$

(1)　極限$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

(2)　区間$[1,\infty )$で$f(x)\leqq 2g(x)$となることを示せ．

(3)　次の不等式を示せ．

${\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-\frac{1}{2}}\leqq \underset{x\to \infty }{\lim }g(x)\leqq e^{-\frac{1}{2}}$

ただし，極限値$\underset{x\to \infty }{\lim }g(x)$は存在するとしてよい．