2022　信州大学　後期　理学部MathJax

2022-10421-0401

2022　信州大学　後期　理学部

易□　並□　難□

【１】　 $a ，$ $b$ を正の実数とする．関数 $f (x) = e^{x^{2} + 4 a x}$ の値を最小にする $x$ の値を $p$ とする．また， $2$ つの曲線 $y = f (x) ，$ $y = e^{2 a x + b}$ の交点の $x$ 座標のうち，最大のものを $q$ とする．このとき，曲線 $y = (x - p) e^{x^{2} + 4 a x} ，$ $x$ 軸， $y$ 軸，および直線 $x = q$ で囲まれた部分の面積を求めよ．

2022-10421-0402

2022　信州大学　後期　理学部

易□　並□　難□

2022年信州大後期理学部【２】2022104210402の図

【２】　相異なる $4$ つの点 $P ，$ $Q ，$ $R ，$ $S$ がある．

　まず， $1$ 枚のコインを $P$ に置き，次の試行をくり返す．

$1 ，$ $2 ，$ $3 ，$ $4$ の数字が書かれたカードが $1$ 枚ずつ入っている箱からカードを無作為に $1$ 枚引き，以下のルールに従ってコインを移し，カードを箱にもどす．

・コインが $P$ にある場合，引いたカードに書かれた数字が $1$ なら $Q$ へ， $2$ なら $R$ へ， $3$ または $4$ なら $S$ ヘコインを移す．

・コインが $Q$ にある場合，引いたカードに書かれた数字が $1 ，$ $2 ，$ $3$ なら $P$ へ， $4$ なら $R$ ヘコインを移す．

・コインが $R$ にある場合，引いたカードに書かれた数字が $1 ，$ $2 ，$ $3$ なら $P$ へ， $4$ なら $Q$ ヘコインを移す．

・コインが $S$ にある場合，引いたカードによらず，コインを $S$ に置いたままにする．

　 $n$ 回の試行後にコインが $P ，$ $Q ，$ $R ，$ $S$ にある確率をそれぞれ $p_{n} ，$ $q_{n} ，$ $r_{n} ，$ $s_{n}$ とおく．

(1)　 $x_{n} = p_{n} - q_{n} - r_{n}$ とおく．数列 ${x_{n}}$ の一般項を求めよ．

(2)　 $y_{n} = 2 p_{n} + 3 q_{n} + 3 r_{n}$ とおく．数列 ${y_{n}}$ の一般項を求めよ．

(3)　確率 $s_{n}$ を求めよ．また，数列 ${s_{n}}$ の極限 $\lim_{n \to \infty} s_{n}$ を求めよ．

2022-10421-0403

数学入試問題さんの解答(PDF)へ

2022　信州大学　後期　理学部

易□　並□　難□

【３】　複素数 $w$ に対し，その虚部を $Im (w)$ とかく． $0$ でない複素数 $z$ が

$Im (z + z^{- 1}) = 0$

をみたしながら動くとき，以下の問いに答えよ．

(1)　複素数平面において，点 $z$ はどのような図形を描くか．

(2)　 $| {| z |}^{2} - 3 z + 2 i |$ のとりうる値の最小値を求めよ．

2022-10421-0404

数学入試問題さんの解答(PDF)へ

2022　信州大学　後期　理学部

易□　並□　難□

【４】　以下の問いに答えよ．

(1)　実数全体を定義域とする連続関数 $f (x)$ は，すべての $x$ に対し， $f (x) > 0$ をみたすとする．正の実数 $t$ に対し，定積分

$\int_{- t}^{t} \frac{f (x)}{f (x) + f (- x)} dx$

を求めよ．

(2)　定積分

$\int_{- π}^{π} \frac{1}{1 + e^{- 2 \sin x}} dx$

を求めよ．