2022　信州大学　後期　工,繊維学部MathJax

【１】　$k$は正の整数とし，直線$y=k$を$l$とする．$l$と$y$軸の交点を${\mathrm{A}}_k\text{，}$$l$と放物線$y=x^2$の$x\geqq 0$の部分との交点を${\mathrm{B}}_k$とする．このとき，点${\mathrm{B}}_k$との距離が最小となる$l$上の格子点がただ$1$つ定まるので，この格子点を${\mathrm{P}}_k$とする．ただし，格子点とは$x$座標と$y$座標がともに整数の点である．

　線分${\mathrm{A}}_k{\mathrm{P}}_k$（両端を含む）上の格子点の個数を$N(k)$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$N(10)$を求めよ．

(2)　$N(k)\mathrm{=}5$を満たす最大の$k$を求めよ．

(3)　正の整数$n$に対して，$N(k)=n+1$を満たす$k$の個数を求めよ．

(4)　正の整数$m$に対して，${\displaystyle \sum _{k=1}^{m^2}}N(k)$を求めよ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1\text{，}$$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}=2:\sqrt{3}:1$が成り立つとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を$t$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$を$t$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$を$t$を用いて表せ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$t$を用いて表せ．

(4)　(3)で求めた$V$の最大値を求めよ．

【３】　座標平面において，点$(4,0)$を中心とする半径$2$の円を$C$とする．また，$m$は正の実数として，直線$y=mx$を$l$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$l$が$C$と共有点をもたないとき，$m$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　(1)のとき，円$C$を直線$l$のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．

【４】　以下の問いに答えよ．

(1)　すべての実数$x\text{，}$$y$に対して，

$|\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})+\cos (y+{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\left)\right|\leqq |x-y|$

が成り立つことを示せ．

(2)　次の条件で定められる数列$\{a_n\}$の極限を求めよ．

$a_1=0\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\sin (a_n+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$