2022　岐阜大学　前期MathJax

【１】　$a>0$とする．空間内の$5$点$\mathrm{A}$$(a,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,a,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-a,0,0)\text{，}$$\mathrm{D}$$(0,-a,0)\text{，}$$\mathrm{E}$$(0,0,2a)$を頂点とする正四角錐を考える．$3$辺$\mathrm{EB}\text{，}$$\mathrm{EC}\text{，}$$\mathrm{ED}$上に$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=t\overrightarrow{\mathrm{EB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{EG}}=s\overrightarrow{\mathrm{EC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{EH}}=t\overrightarrow{\mathrm{ED}}$となる$3$点$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}$をとる．ただし，$0<s\leqq 1\text{，}$$0<t\leqq 1$とする．線分$\mathrm{AG}$と線分$\mathrm{FH}$は交点$\mathrm{I}$をもつとする．以下の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{I}$の座標を$a$と$t$で表せ．

(2)　$t$を$s$で表せ．

(3)　$\mathrm{BI}\perp \mathrm{DI}$のとき，$s$の値を求めよ．

(4)　$\mathrm{BI}\perp \mathrm{DI}$とする．$\mathrm{\angle BGD}=\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

【２】　ある製品が工場$\mathrm{A}$と工場$\mathrm{B}$で生産されている．工場$\mathrm{A}$で生産された製品が不良品である確率を${\displaystyle \frac{1}{20}}\text{，}$工場$\mathrm{B}$で生産された製品が不良品である確率を${\displaystyle \frac{1}{10}}$とする．以下の問に答えよ．

(1)　工場$\mathrm{A}$と工場$\mathrm{B}$で生産された多数の製品がある．その中から$1$つ取り出すとき，その製品が工場$\mathrm{A}$で生産されたものである確率を${\displaystyle \frac{3}{5}}\text{，}$工場$\mathrm{B}$で生産されたものである確率を${\displaystyle \frac{2}{5}}$とする．取り出された製品が不良品である確率を求めよ．

(2)　製品が不良品か否かを判定する検査装置の導入を考える．この検査装置は検査対象が不良品だったとき，${\displaystyle \frac{9}{10}}$の確率で不良品であることを正しく判定する．一方，不良品でない製品を検査したときにも${\displaystyle \frac{1}{10}}$の確率で不良品であると誤って判定する．工場$\mathrm{A}$で生産された製品を$1$つ取り出して検査装置で検査したとき，それが不良品と判定される確率を求めよ．

(3)　工場$\mathrm{A}$で生産された製品を$1$つ取り出して(2)の検査装置で検査したところ，不良品と判定された．その製品が実際に不良品である確率を求めよ．

(4)　工場$\mathrm{A}$で生産された製品を出荷前に(2)の検査装置で検査し，不良品と判定されたものを取り除いてから出荷する．このとき，工場$\mathrm{A}$から出荷された検査済みの製品が実際に不良品である確率を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を初項が$12$で公差$8$の等差数列とする．また，次の条件で定められる数列$\{b_n\}$がある．

$b_1=3\text{，}$$b_{n+1}=b_n+a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

　以下の問に答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の和${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を求めよ．

(3)　数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を求めよ．

(4)　和$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{b_k}}$を求めよ．

(5)　数列$\{c_m\}$を，次のように定める．各自然数$m$に対して，(4)の和$S_n$が

${\displaystyle \frac{1}{2}}-S_n<{\displaystyle \frac{1}{{10}^m}}$

となるような最小の自然数$n$を$c_m$とする．このとき，和${\displaystyle \sum _{k=1}^m}{c}_k$を求めよ．

【４】　$a>0$とする．$xy$平面上に放物線$H\text{：}y=x^2$と$H$上の点$\mathrm{A}$$(a,a^2)$を考える．点$\mathrm{A}$を接点とする$H$の接線を$l$で表す．また，点$\mathrm{A}$を通り接線$l$に垂直な直線を$n$で表す．以下の問に答えよ．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　直線$n$の方程式を求めよ．

(3)　直線$n$と放物線$H$の点$\mathrm{A}$とは異なる共有点の座標を$a$を用いて表せ．

(4)　放物線$H$と直線$n$で囲まれる部分の面積$S$を$a$を用いて表せ．

(5)　$a$が，$a>0$の範囲を動くとき，(4)の面積$S$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

【５】　右の図の$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=2\text{，}$$\mathrm{\angle BAC}=30\mathrm{°}$とする．辺$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{\angle BCD}=45\mathrm{°}$となるような点$\mathrm{D}$をとり，辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{\angle CBE}=60\mathrm{°}$となるような点$\mathrm{E}$をとる．また，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{▵ABC}$の面積$S$を求めよ．

(2)　$\sin 75\mathrm{°}$を求めよ．必要なら$75\mathrm{°}=30\mathrm{°}+45\mathrm{°}$であることを利用してもよい．また，$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．

(3)　$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．

(4)　$\mathrm{CE}$の長さを求めよ．

(5)　$\mathrm{CF}$の長さを求めよ．

(6)　$\mathrm{▵DEF}$の面積$T$を求めよ．

【４】　$n\text{，}$$k$は自然数とする．以下の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　$\alpha \text{，}$$\beta$は実数とする．$\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )$を$\cos \alpha \text{，}$$\sin \beta$を用いて表せ．

(2)　$\theta$は実数とする．以下の等式を示せ．

$({\displaystyle \frac{1}{2}}+\cos \theta +\cos 2\theta +\cos 3\theta +\cdots +\cos k\theta )\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$$={\displaystyle \frac{1}{2}}\sin {\displaystyle \frac{(2k+1)\theta }{2}}$

(3)　部分積分法を用いて，次の定積分をそれぞれ求めよ．

$I={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{e}^x\cos x\mathit{dx}\text{，}$$J={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{e}^x\sin x\mathit{dx}$

(4)　区分求積法を用いて，次の極限をそれぞれ求めよ．

$P=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\pi }{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}(e^{\frac{\pi k}{n}}\cos {\displaystyle \frac{\pi k}{n}})\text{，}$$Q=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\pi }{n}}{\displaystyle \sum _{k-1}^n}(n^{\frac{\pi k}{n}}\sin {\displaystyle \frac{\pi k}{n}})$

(5)　$n$に対して，

とする．以下の等式を示せ．

$S_n={\left({\displaystyle \frac{\pi }{n}}\right)}^2{\displaystyle \sum _{k=1}^n}\{e^{\frac{\pi k}{n}}{\displaystyle \frac{\sin {\displaystyle \frac{(2k+1)\pi }{2n}}}{2\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2n}}}}\}$

(6)　(5)の$S_n$に対して，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めよ．

【５】　$a>0$とする．関数

$f(x)=a{x}^2-x+1-a$$\text{（}0\leqq x\leqq 1\text{）}$

を考える．以下の問に答えよ．

(1)　関数$g(t)=\sqrt{1-t^2}$$\text{（}0\leqq t<1\text{）}$を微分せよ．

(2)　$0<a\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を，それぞれ求めよ．

(3)　$a>{\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を，それぞれ求めよ．

(4)　関数$|f(x)|$の最大値，および，そのときの$x$の値を求めよ．

(5)　関数$h(t)=|1-\sqrt{1-t^2}-a{t}^2|$$\text{（}0\leqq t\leqq 1\text{）}$の最大値を求めよ．ただし，そのときの$t$の値を求める必要はない．