2022　岐阜大学　後期MathJax

【１】　$a>0$とする．$xy$平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$と点$\mathrm{P}$$(-\sqrt{2},0)$がある．点$\mathrm{P}$を通る傾き$a$の直線$l$が円$C$と$2$点で交わるとする．円$C$と直線$l$の交点を$x$座標の値が小さい方から$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とおく．以下の問に答えよ．

(1)　$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　点$\mathrm{B}$から$x$軸上におろした垂線と$x$軸の交点を$\mathrm{D}$とし，$\mathrm{AE}\perp \mathrm{BD}$となるような点$\mathrm{E}$を線分$\mathrm{BD}$上にとる．$\mathrm{▵ABE}$の面積を$a$を用いて表せ．

(3)　(2)で求めた面積を$S(a)$とする．$a$が(1)で求めた範囲を動くとき，$S(a)$を微分せよ．

(4)　$a$が(1)で求めた範囲を動くとき，(3)の$S(a)$は最大値をもつことを示し，最大値とそのときの$a$の値を求めよ．

【２】　$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$0<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$\theta =\alpha -\beta$とする．$\tan \alpha ={\displaystyle \frac{4}{3}}\text{，}$$\tan \beta ={\displaystyle \frac{3}{4}}$そのとき，以下の問に答えよ．

(1)　$\cos \alpha \text{，}$$\sin \alpha \text{，}$$\cos \beta \text{，}$$\sin \beta$の値をそれぞれ求めよ．

(2)　$\cos \theta \text{，}$$\sin \theta$の値をそれぞれ求めよ．

(3)　$\alpha +\beta$の値を求めよ．

(4)　$0<2\theta <\beta$を証明せよ．

(5)　$n\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$となる最大の自然数$n$を求めよ．

【３】　$2$つの関数

$\begin{array}{ll}f(x)=x-\log x-1& \text{（}x>0\text{）}\\ g(x)=x-2x\log x+e& \text{（}x>0\text{）}\end{array}$

を考える．以下の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　関数$f(x)$と$g(x)$をそれぞれ微分せよ．

(2)　正の実数$x$に対して，不等式$f(x)\geqq 0$が成り立つことを示せ．

(3)　関数$g(x)$は区間$(0,e]$における最大値と最小値をもつことを示せ．また，この最大値と最小値，および，そのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．

(4)　曲線$y=g(x)$と$x$軸，および，直線$x={\displaystyle \frac{1}{n}}$で囲まれた部分の面積$S_n$を求めよ．ただし，$n$は自然数とする．

(5)　(4)の面積$S_n$は，すべての自然数$n$に対して

$0<e^2-S_n\leqq {\displaystyle \frac{e+1}{n}}$

をみたすことを示せ．

【４】　$p>0\text{，}$$q>0$に対して，次の$2$つの$2$次方程式

$\begin{array}{ll}{x}^2-2px+1=0& \cdots \text{①}\\ x^2-2qx+1=0& \cdots \text{②}\end{array}$

を考える．$\text{①}$は異なる$2$つの虚数解${\alpha }_1\text{，}$${\beta }_1$をもち，$\text{②}$は異なる$2$つの実数解${\alpha }_2\text{，}$${\beta }_2$をもつとする．以下の問に答えよ．

(1)　$p\text{，}$$q$のとりうる値の範囲をそれぞれ求めよ．

(2)　$\text{①}$の$2$つの解が$1$の$6$乗根となるとき，$p$の値を求めよ．

(3)　異なる複素数$\alpha \text{，}$$\beta$に対して，$L(\alpha ,\beta )$を，複素数$z$に関する方程式

$|z-\alpha |=|z-\beta |$$\cdots \text{③}$

を満たす点$z$全体とする．このとき，$L(\alpha ,\beta )$は複素数平面上でどのような図形を描くか．

(4)　(3)において$\left|\alpha \right|\ne \left|\beta \right|$とする．点$z$が$\text{③}$を満たしながら動くとき，$w={\displaystyle \frac{1}{z}}$で表される点$w$全体が複素数平面上で描く図形は円$S(\alpha ,\beta )$の一部となる．その円の中心および半径を求めよ．

(5)　$p$は(2)で求めた値とし，$L(\alpha ,\beta )$と$S(\alpha ,\beta )$は(3)，(4)で定めたものとする．また，$L({\alpha }_2,{\beta }_2)$は，$S(0.{\alpha }_1)$と$S(0,{\beta }_1)$に接するとする．このとき，$q$の値を求めよ．さらに，$S(0,{\alpha }_1)$と$S(0,{\beta }_1)$両方の外部で，$L({\beta }_2,{\beta }_2)\text{，}$$S(0,{\alpha }_1)\text{，}$$S(0,{\beta }_1)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【５】　$0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．$xy$平面上に点$\mathrm{P}$$(\cos t,0)\text{，}$$\mathrm{Q}$$(0,\sin t)$を考える．$t$が$0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとき，長さ$1$の線分$\mathrm{PQ}$が通過する領域を$D$で表し，直線$\mathrm{PQ}$が通過する領域を$G$で表す．以下の問に答えよ．

(1)　$0\leqq t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，直線$\mathrm{PQ}$の方程式を求めよ．

(2)　$0<c<1$とする．$0\leqq t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，直線$x=c$と直線$\mathrm{PQ}$の交点の$y$座標を$t$の関数とみなしたものを$f(t)$とする．関数$f(t)$とその導関数$f^{\prime }(t)$を求めよ．

(3)　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．領域$G$と直線$x={\cos }^3\theta$の共通部分は，ある点$\mathrm{R}$を上端とする半直線であることを示し，$\mathrm{R}$の$y$座標$M(\theta )$を$\theta$を用いて表せ．また，直線$\mathrm{PQ}$が$\mathrm{R}$を通過するときの$t$を$\theta$を用いて表せ．

(4)　領域$D$は原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$$(1,0)$を端点とする線分$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{O}$と点$\mathrm{B}$$(0,1)$を端点とする線分$\mathrm{OB}\text{，}$および点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を結ぶある曲線$C$で囲まれる領域である．$C$の媒介変数表示を用いて，$C$の長さ$l$を求めよ．