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問題
表面と裏面が出る確率がそれぞれであるコインを投げる試行を繰り返し,同じ面が回連続して出た時点で試行を終了する.回投げ終えた段階で試行が終了する確率を求めよ.
に対する次の答案について以下の問いに答えよ.
(1) もし答案に誤りがあれば誤りを指摘し,その理由を述べよ.ただし,すでに指摘してある誤った結論から論理的に導き出された結論を誤りとして指摘する必要はない.誤りがないときは「誤りなし」と答えよ.
(2) 答案で導かれたと正解のとで値が異なるとき,値が異なる最小のを求め,そのに対する正解のの値を答えよ.そのようながないときは「すべて一致する」と答えよ.
答案
自然数に対して,コインを回投げ終えた段階で,その後最短で試行が終了するために必要な回数が回である確率をとする.このとき,はのいずれかであるから,確率の総和は
である.また,
であるから漸化式
を得る.ここで,なので,とすれば
である.よってに対して
が成立する.以上より,
とすれば求める確率は
である.また,最初の項は定義よりでありの漸化式でとすればであるからである.さらに
である.したがって
となる.