2022　名古屋大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}$$b$を実数とする．

(1)　整式$x^3$を$2$次式${(x-a)}^2$で割ったときの余りを求めよ．

(2)　実数を係数とする$2$次式$f(x)=x^2+\alpha x+\beta$で整式$x^3$を割ったときの余りが$3x+b$とする．$b$の値に応じて，このような$f(x)$が何個あるかを求めよ．

【２】　$1$つのサイコロを$3$回投げる．$1$回目に出る目を$a\text{，}$$2$回目に出る目を$b\text{，}$$3$回目に出る目を$c$とする．なおサイコロは$1$から$6$までの目が等しい確率で出るものとする．

(1)　$ab+2c\geqq abc$となる確率を求めよ．

(2)　$ab+2c$と$2abc$が互いに素となる確率を求めよ．

【３】　$a\text{，}$$b$を実数とし，放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$を$C_1\text{，}$放物線$y=-{(x-a)}^2+b$を$C_2$とする．

(1)　$C_1$と$C_2$が異なる$2$点で交わるための$a\text{，}$$b$の条件を求めよ．

　以下，$C_1$と$C_2$は異なる$2$点で交わるとし，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を$S$とする．

(2)　$S=16$となるための$a\text{，}$$b$の条件を求めよ．

(3)　$a\text{，}$$b$は$b\leqq a+3$を満たすとする．このとき$S$の最大値を求めよ．

【３】　複素数平面上に，原点$\mathrm{O}$を頂点の$1$つとする正六角形$\mathrm{OABCDE}$が与えられている．ただしその頂点は時計の針の進む方向と逆向きに$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$とする．互いに異なる$0$でない複素数$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$が，

$0\leqq \arg \left({\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}\right)\leqq \pi \text{，}$$4{\alpha }^2-2\alpha \beta +{\beta }^2=0\text{，}$$2{\gamma }^2-(3\alpha +\beta +2)\gamma +(\alpha +1)(\alpha +\beta )=0$

を満たし，$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$のそれぞれが正六角形$\mathrm{OABCDE}$の頂点のいずれかであるとする．

(1)　${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha }}$を求め，$\alpha \text{，}$$\beta$がそれぞれどの頂点か答えよ．

(2)　組$(\alpha ,\beta ,\gamma )$をすべて求め，それぞれの組について正六角形$\mathrm{OABCDE}$を複素数平面上に図示せよ．

【４】　関数$f(x)$は区間$x\geqq 0$において連続な増加関数で$f(0)=1$を満たすとする．ただし$f(x)$が区間$x\geqq 0$における増加関数であるとは，区間内の任意の実数$x_1\text{，}$$x_2$に対し$x_1<x_2$ならば$f(x_1)<f(x_2)$が成り立つときをいう．以下，$n$は正の整数とする．

(1)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^{2-\frac{1}{n}}}{\displaystyle \frac{f(x)}{2-x}}\mathit{dx}=\infty$を示せ．

(2)　区間$y>2$において関数$F_n(y)$を$F_n(y)={\displaystyle {\int }_{2+\frac{1}{n}}^y}{\displaystyle \frac{f(x)}{x-2}}\mathit{dx}$と定めるとき，$\underset{x\to \infty }{\lim }{F}_n(y)=\infty$を示せ．また$2+{\displaystyle \frac{1}{n}}$より大きい実数$a_n$で

${\displaystyle {\int }_0^{2-\frac{1}{n}}}{\displaystyle \frac{f(x)}{2-x}}\mathit{dx}+{\displaystyle {\int }_{2+\frac{1}{n}}^{a_n}}{\displaystyle \frac{f(x)}{2-x}}\mathit{dx}=0$

を満たすものがただ$1$つ存在することを示せ．

(3)　(2)の$a_n$について，不等式$a_n<4$がすべての$n$に対して成り立つことを示せ．