2022　名古屋工業大学　前期MathJax

【１】　座標平面上の動点$\mathrm{P}$の時刻$t$における位置$(x,y)$が

$x=\cos 2t\text{，}$$y={\displaystyle \frac{1}{3}}\cos 3t$

で表されている．

(1)　$X={\cos }^{2}t$とおくとき，${\sin }^{2}2t$と${\sin }^{2}3t$を$X$を用いて表せ．

(2)　時刻$t=0$から$t=\pi$までの範囲で，動点$\mathrm{P}$の速さ$\left|\overrightarrow{v}\right|$の最大値を求めよ．

(3)　時刻$t=0$から$t=\pi$までに動点$\mathrm{P}$が通過する道のり$L$を求めよ．

【２】　$f(x)$は$x^3$の係数が$1$の$3$次関数，$g(x)$は$x^2$の係数が$-1$の$2$次関数である．曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の共有点は$2$点のみである．共有点の$x$座標を$a\text{，}$$b$$\text{（}a<b\text{）}$とするとき

$g(a)=g(a+2)=0\text{，}$$g(-1)=1\text{，}$$f\left({\displaystyle \frac{a+b}{2}}\right)>g\left({\displaystyle \frac{a+b}{2}}\right)$

が成り立っている．また，$2$つの曲線で囲まれる図形の面積は${\displaystyle \frac{64}{3}}$である．

(1)　$a$と$g(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)-g(x)$を$x$と$b$を用いて表せ．

(3)　$b$と$f(x)$を求めよ．

(4)　${\displaystyle {\int }_2^3}{\displaystyle \frac{g(x)}{f(x)}}\mathit{dx}$を求めよ．

【３】　空間内に点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$がある．四角形$\mathrm{OABC}$は平行四辺形であり，三角形$\mathrm{OAD}$は正三角形である．さらに

$\mathrm{OA}=3\text{，}$$\mathrm{OC}=2\text{，}$$\mathrm{\angle AOC}=120\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle COD}=90\mathrm{°}$

である．点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABD}$に垂線$\mathrm{OP}$を下ろす．点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{OP}$上にあり，直線$\mathrm{AQ}$と線分$\mathrm{CD}$が点$\mathrm{R}$で交わる．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{d}$を求めよ．

(2)　$\mathrm{\angle BAD}$の大きさを求めよ．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．

【４】　$z$を複素数とする．自然数$n$に対し，複素数$a_n$と$b_n$を

$a_1=z(z-1)\text{，}$$a_{n+1}=(z-1)a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$b_1=z(z-1)\text{，}$$b_{n+1}=a_{n+1}-b_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．

(1)　$a_n$を求めよ．

(2)　$b_n$を求めよ．

(3)　$b_3=0$が成り立つような$z$をすべて求めよ．

(4)　$b_k=0$を満たす$z$が実数のみであるような自然数$k$をすべて求めよ．