2022　名古屋工業大学　後期MathJax

【１】　$a$を正の定数とする．$2$つの曲線

$C_1\text{：}y={\displaystyle \frac{a}{\cos x}}$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

$C_2\text{：}y=\sin 2x$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

は共有点で共通の接線を持っている．$C_1$と$C_2$の共有点の$x$座標を$\theta$とする．

(1)　$a$の値を求めよ．

(2)　$C_2$と$x$軸で囲まれる図形の$0\leqq x\leqq \theta$の範囲にある部分の面積$S$を求めよ．

(3)　$C_1$と$C_2$および$y$軸で囲まれる図形の面積$T$を求めよ．

【２】　$2$行$n$列の表

$x_1$	$x_2$	$\cdots$	$x_n$
$y_1$	$y_2$	$\cdots$	$y_n$

があり，$x_1\text{，}$$x_2\text{，}\cdots \text{，}$$x_n\text{，}$$y_1\text{，}$$y_2\text{，}\cdots \text{，}$$y_n$はそれぞれ$-1\text{，}$$0\text{，}$$1$のいずれかである．この表に対して

$S_n=x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n$

とおく．このようなすべての$2$行$n$列の表のうち，$S_n$が偶数である表の個数を$a_n$で表し，$S_n$が奇数である表の個数を$b_n$で表す．ただし，$2$の整数倍を偶数といい，偶数でない整数を奇数という．

(1)　$a_1$と$b_1$を求めよ．

(2)　$a_2$と$b_2$を求めよ．

(3)　$a_{n+1}$と$b_{n+1}$を$a_n$と$b_n$を用いて表せ．

(4)　$a_n$と$b_n$を求めよ．

【３】　三角錐$\mathrm{OABC}$は

$\mathrm{AB}=7\text{，}$$\mathrm{BC}=8\text{，}$$\mathrm{CA}=6\text{，}$${\left({\displaystyle \frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{OB}}}\right)}^2={\displaystyle \frac{7}{8}}$

を満たす．点$\mathrm{O}$を通り直線$\mathrm{BC}$に垂直な平面$\alpha$が，三角形$\mathrm{ABC}$の内心$\mathrm{I}$を通る．平面$\alpha$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{K}$とする．点$\mathrm{O}$より平面$\mathrm{ABC}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろしたとき，$\mathrm{HK}=2\sqrt{2}\mathrm{IK}$が成り立つ．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．

(2)　$\mathrm{IK}$を求めよ．

(3)　$\mathrm{BK}$を求めよ．

(4)　$\mathrm{OB}$を求めよ．

(5)　三角錐$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．

【４】　$k$を正の実数とし，$2$つの曲線

$C_1\text{：}y=\log x\text{，}$$C_2\text{：}y={\displaystyle \frac{k}{x}}$

を考える．$C_1\text{，}$$C_2$と$2$直線$x=1\text{，}$$x=3$で囲まれる図形の面積を$S(k)$とおく．$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を$t$とする．

(1)　$k$を$t$を用いて表せ．さらに，${\displaystyle {\int }_1^t}|\log x-{\displaystyle \frac{k}{x}}|\mathit{dx}$を$t$を用いて表せ．

(2)　$k=2$のとき$t>2$となることを示せ．さらに，$k=3$のとき$t<3$となることを示せ．ただし，$2<e<3$が成り立つことを用いてよい．

(3)　$S(k)$が最小となる$k$の値を求めよ．