2022　豊橋技術科学大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}$$b$を$a\geqq b$をみたす正の定数とする．右図のように，正三角形${\mathrm{A}}_0{\mathrm{B}}_0{\mathrm{C}}_0$において，各辺${\mathrm{A}}_0{\mathrm{B}}_0\text{，}$${\mathrm{B}}_0{\mathrm{C}}_0\text{，}$${\mathrm{C}}_0{\mathrm{A}}_0$を$a:b$に内分する点をそれぞれ${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{C}}_1$とし，その$3$点を頂点とする正三角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1$を作る．次に正三角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1$において，各辺${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1\text{，}$${\mathrm{C}}_1{\mathrm{A}}_1$を$a:b$に内分する点をそれぞれ${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{B}}_2\text{，}$${\mathrm{C}}_2$とし，その$3$点を頂点とする正三角形${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2$を作る．このようにして無数の正三角形$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1\text{，}$$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2\text{，}\cdots \text{，}$$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n\text{，}\cdots$を作る．

　このとき正三角形${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n$$\text{（}n=0\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{）}$の$1$辺の長さを$l_n\text{，}$その面積を$S_n\text{，}$$T_n=S_n-S_{n+1}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$a=b=1\text{，}$$l_0=1$とする．以下の問いに答えよ．

ア.　面積$S_1$を求めよ．

イ.　$S_{n+1}$と$S_n$の関係式を求めよ．

ウ.　${\displaystyle \sum _{n=0}^m}{S}_n$を求めよ．

(2)　$a\ne b$とする．$T_n$を$a\text{，}$$b\text{，}$$l_n$を用いて表せ．

(3)　$S_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}{S}_n$を満たすように定数$a\text{，}$$b$を定めるとき，${\displaystyle \frac{a}{b}}$の値を求めよ．

【２】　不等式$x^2+y^2-6x-4y+12\leqq 0$の表す領域を$D$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　領域$D$を解答用紙の座標平面上に図示せよ．

(2)　点$(x,y)$が領域$D$を動くとき，$2x+1$の最大値を求めよ．

(3)　点$(x,y)$が領域$D$を動くとき，$x^2+y^2$の最大値を求めよ．

(4)　点$(x,y)$が領域$D$を動くとき，${\displaystyle \frac{y}{x}}$の最小値を求めよ．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標$(x,y)$が

$x=e^{-t}\mathrm{sln}t\text{，}$$y=e^{-t}\cos t$$\text{（}t\geqq 0\text{）}$

で表される．以下の問いに答えよ．ただし，ベクトル$({\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}},{\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}})$を記号$\overrightarrow{\nu }$を用いて

$\overrightarrow{\nu }=({\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{dt}}},{\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}})$

と表し，この$\overrightarrow{\nu }$を時刻$t$における点$\mathrm{P}$の速度という．さらに，時刻$t$における点$\mathrm{P}$の速度$\overrightarrow{\nu }$の大きさ$\left|\overrightarrow{\nu }\right|$を時刻$t$における点$\mathrm{P}$の速さという．

(1)　時刻$t=0$における点$\mathrm{P}$の速度を求めよ．

(2)　$t_1$を$t_1\geqq 0$を満たす定数とする．時刻$t=t_1$における点$\mathrm{P}$の速さが，時刻$t=0$における点$\mathrm{P}$の速さの${\displaystyle \frac{1}{3}}$となる定数$t_1$を求めよ．

(3)　時刻$t=0$から時刻$t=1$までに点$\mathrm{P}$が動く道のり$L$を求めよ．

(4)　$t_2$を$t_2\geqq 0$を満たす定数とする．時刻$t=t_2$における点$\mathrm{P}$について，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$とその点$\mathrm{P}$の速度のなす角$\theta$を求めよ．$\theta$は$0\leqq \theta \leqq \pi$とする．

【４】　箱$\mathrm{A}$の中に，$1$から$10$までの整数が$1$つずつ書かれた$10$枚のカードがある．箱$\mathrm{B}$の中に，$0$から$9$までの整数が$1$つずつ書かれた$10$枚のカードがある．以下の問いに答えよ．ただし，答えが分数となる場合は既約分数で答えよ．

(1)　箱$\mathrm{A}$の中から同時に$3$枚のカードを無作為に取り出す．取り出した$3$枚のカードに書かれている数が，すべて素数である確率を求めよ．

(2)　箱$\mathrm{A}\text{，}$箱$\mathrm{B}$の中からそれぞれ$1$枚のカードを無作為に取り出す．箱$\mathrm{A}$から取り出したカードに書かれている数を$S$とし，箱$\mathrm{B}$から取り出したカードに書かれている数を$T$とするとき，$S$の$T$乗の値が$1$である確率を求めよ．

(3)　箱$\mathrm{B}$の中から同時に$3$枚のカードを無作為に取り出す．取り出した$3$枚のカードに書かれている数を，大きい順に百の位から並べて$3$桁の整数をつくるとき，その$3$桁の整数は何通りあるか答えよ．

(4)　箱$\mathrm{B}$の中から同時に$3$枚のカードを無作為に取り出す．取り出した$3$枚のカードに書かれている数を，大きい順に百の位から並べて$3$桁の整数をつくるとき，その$3$桁の整数が$5$の倍数である確率を求めよ．

(5)　箱$\mathrm{A}$の中から$1$枚のカードを，箱$\mathrm{B}$の中から同時に$2$枚のカードを無作為に取り出す．取り出した$3$枚のカードに書かれている$3$つの数の積が，$0$を除く$3$の倍数である確率を求めよ．