2022　三重大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　平面上の$2$点$\mathrm{A}$$(-2,-2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,-4)$と円$x^2-2x+y^2-2y-2=0$上の点$\mathrm{P}$を頂点とする$\mathrm{▵ABP}$を考える．$\mathrm{P}$が円周上を動いたとき$\mathrm{▵ABP}$の重心$\mathrm{G}$の軌跡を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　正の数からなる数列$\{a_n\}$を

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=3{a_n}^5$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．この数列の一般項を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　$\cos (x+y)-\cos x+\cos (x-y)=0$$(0<x<\pi \text{，}0<y<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を満たす$(x,y)$全体を$xy$平面上に図示せよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(4)　$\overrightarrow{a}=(3,4)$とする．$\overrightarrow{a}$を正の向きに${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$だけ回転させたベクトルを求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(5)　赤球$2$個と白球$3$個が入っている袋から，球を$1$個取り出し，色を調べてからもとに戻すことを$3$回行う．このとき，白球を取り出す回数が赤球を取り出す回数より少ない確率を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　$n$を自然数．$a$を$1$でない正の実数，$b$を正の実数とするとき，底の変換公式を用いて$n{\log }_{a^n}b={\log }_{a}b$を示せ．

(2)　$2{\log }_2(3-x)={\log }_2(x-1)$を満たす$x$を求めよ．

(3)　$x>1$において，${\left({\displaystyle \frac{3-x}{\sqrt{x-1}}}\right)}^{{\log }_2(3-x^2)-{\log }_4(x^2-1)}=1$を満たす$x$を求めよ．

【３‐１】　$k$を正の定数とし$f(x)=e^x-kx$とする．$f(x)$は常に正の値を取るものとする．以下の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$の最小値を$k$を用いて表せ．さらに$k$の範囲を求めよ．

(2)　${\displaystyle \int }\log x\mathit{dx}$を部分積分法を用いて求めよ．

(3)　${\displaystyle \int }(e^x-k)\log f(x)\mathit{dx}$を求めよ．

【３‐２】　$t$を正の実数とし，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$t$の円を$C$とする．また，点$\mathrm{P}$$(x,y)$が$C$上を動くときの$y+x^2$の最大値を$f(t)$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$f(t)$を$t$の関数として表せ．

(2)　円$C$と放物線$y=-x^2+f(t)$との共有点を求めよ．さらに，$x$座標が正である共有点があれば，その点における放物線の接線の傾きを$t$で表せ．

(3)　${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{\sqrt{6}}}^{\frac{3}{2}}}f(t)\mathit{dt}$を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　$a\text{，}$$b$を正の実数とする．$a\leqq {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{3-{\log }_{\frac{1}{2}}x+{\log }_{2}b}$が成り立つ$x$の範囲を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(4)　$\alpha$を正の実数，$\beta$を複素数とする．複素数平面上の$3$点$\mathrm{0}\text{，}$$\alpha \text{，}$$\beta$を頂点とする三角形の面積が$1$で，$\alpha$と$\beta$が$5{\alpha }^2-4\alpha \beta +{\beta }^2=0$を満たすとき，$\alpha$と$\beta$の値を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(5)　袋$\mathrm{A}$には赤球$3$個と白球$2$個，袋$\mathrm{B}$には赤球$5$個と白球$3$個が入っている．袋$\mathrm{A}$から，球を$1$個取り出して，色を確認せずに袋$\mathrm{B}$に入れ，中身をよくかき混ぜた後，袋$\mathrm{B}$から球を$1$個取り出す．袋$\mathrm{B}$から取り出した球が白球であるとき，袋$\mathrm{A}$から取り出した球も白球であった確率を求めよ．

【２】　実数$s$に対して平面ベクトル$\overrightarrow{a_1}\text{，}$$\overrightarrow{b_1}\text{，}$$\overrightarrow{a_2}\text{，}$$\overrightarrow{b_2}$を，成分を用いて

$\overrightarrow{a_1}=(x_1,y_1)+s(2,1)\text{，}$$\overrightarrow{b_1}=(-3,-1)+s(-2,-1)\text{，}$

$\overrightarrow{a_2}=(x_2,y_2)+s(0,1)\text{，}$$\overrightarrow{b_2}=(1,-3)+s(1,-2)$

と定める．ただし$x_1\text{，}$$y_1\text{，}$$x_2\text{，}$$y_2$は$s$によらない定数で，内積について

$\overrightarrow{a_1}\cdot \overrightarrow{b_2}=10+7s\text{，}$$\overrightarrow{a_2}\cdot \overrightarrow{b_1}=-12-7s-s^2$

がすべての$s$に対して成り立っているとする．実数$t$に対して

$\overrightarrow{c_1}=\overrightarrow{a_1}+t\overrightarrow{b_1}\text{，}$$\overrightarrow{c_2}=\overrightarrow{a_2}+t\overrightarrow{b_2}$

とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$x_1\text{，}$$y_1\text{，}$$x_2\text{，}$$y_2$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{a_1}\cdot \overrightarrow{a_2}$を$s$を用いて表せ．また$\overrightarrow{b_1}\cdot \overrightarrow{b_2}$を求めよ．さらに$\overrightarrow{c_1}$と$\overrightarrow{c_2}$が垂直になるとき，$t$を$s$で表せ．

(3)　$s$を正の実数とする．$\overrightarrow{c_1}$と$\overrightarrow{c_2}$のすべての成分が整数であり，$\overrightarrow{c_1}$と$\overrightarrow{c_2}$が垂直になるとき，$s$の値をすべて求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　$2$以上の自然数$n$に対し${\displaystyle {\int }_0^1}{x}^{n-1}{e}^{-{\displaystyle \frac{n-1}{n}}{x}^n-{\displaystyle \frac{1}{n}}}\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　$x>0$とする．$\log x\leqq {\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$を示せ．さらにこの不等式を用いて

$(n-3)\log x-{\displaystyle \frac{n-1}{n}}{x}^n+x^2-{\displaystyle \frac{1}{n}}\leqq 0$$\text{（}n=3\text{，}4\text{，}5\text{，}\cdots \text{）}$

を示せ．

(3)　$x>0$のとき$x^{n-\mathrm{l}}{e}^{-{\displaystyle \frac{n-1}{n}}{x}^n-{\displaystyle \frac{1}{n}}}\leqq x^2{e}^{-x^2}$$\text{（}n=3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}\cdots \text{）}$を示せ．さらにこの不等式を用いて$e^{-\frac{1}{3}}\leqq {\displaystyle {\int }_0^1}{e}^{-x^2}\mathit{dx}$を示せ．

【２】　実数$s$に対して平面ベクトル$\overrightarrow{a_1}\text{，}$$\overrightarrow{b_1}\text{，}$$\overrightarrow{a_2}\text{，}$$\overrightarrow{b_2}$を，成分を用いて

$\overrightarrow{a_1}=(x_1,y_1)+s(2,1)\text{，}$$\overrightarrow{b_1}=(-3,-1)+s(-2,-1)\text{，}$

$\overrightarrow{a_2}=(x_2,y_2)+s(0,1)\text{，}$$\overrightarrow{b_2}=(1,-3)+s(1,-2)$

と定める．ただし$x_1\text{，}$$y_1\text{，}$$x_2\text{，}$$y_2$は$s$によらない定数で，内積について

$\overrightarrow{a_1}\cdot \overrightarrow{b_2}=10+7s\text{，}$$\overrightarrow{a_2}\cdot \overrightarrow{b_1}=-12-7s-s^2$

がすべての$s$に対して成り立っているとする．実数$t$に対して

$\overrightarrow{c_1}=\overrightarrow{a_1}+t\overrightarrow{b_1}\text{，}$$\overrightarrow{c_2}=\overrightarrow{a_2}+t\overrightarrow{b_2}$

とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$x_1\text{，}$$y_1\text{，}$$x_2\text{，}$$y_2$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{a_1}\cdot \overrightarrow{a_2}$を$s$を用いて表せ．また$\overrightarrow{b_1}\cdot \overrightarrow{b_2}$を求めよ．さらに$\overrightarrow{c_1}$と$\overrightarrow{c_2}$が垂直になるとき，$t$を$s$で表せ．

(3)　$s$を自然数とする．$\overrightarrow{c_1}$と$\overrightarrow{c_2}$が垂直で，$t$が整数になるとき，$s$の値をすべて求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　$y=x^2-x-\log x$$\text{（}x>0\text{）}$の増減を調べ，最小値を求めよ．

(2)　$x>0$のとき$x^2{e}^{-x^2}\leqq x{e}^{-x}$を示せ．さらに等号を満たす正の数$x$はただ一つであることを示せ．

(3)　$M={\displaystyle {\int }_0^1}{e}^{-x^2}\mathit{dx}$とおく．${\displaystyle {\int }_0^1}{x}^2{e}^{-x^2}\mathit{dx}$を$M$で表せ．さらに$M\leqq 2-{\displaystyle \frac{3}{e}}$を示せ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　放物線$y=x^2+3x-9$と直線$y=3x$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(2)　$f(x)=-6-{\displaystyle {\int }_0^1}(6xt-4)f(t)\mathit{dt}$を満たす関数$f(x)$を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(3)　$s<1$のとき，関数$y=2x^3-3(s+1)x^2+6sx+1$の増減を調べ，極値を求めよ．さらに$0<s<1$として，この関数の区間$0\leqq x\leqq 2s$における最大値を求めよ．