2022　三重大学　後期教育,工学部MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　方程式$2^{3t}-3\cdot 2^{2t}-2^t+3=0$を満たす$t$をすべて求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　平面上の$3$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(3,4)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-1,2)$を考える．点$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$に平行な直線上の点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積が$10$となるとき，点$\mathrm{P}$を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　$a$を実数とする．$y=7-{\sin }^{2}x-2a\cos x$の最小値が$a$と等しくなるような$a$の値をすべて求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(4)　$z^3$と$z^2+2iz$がともに実数であるような$0$でない複素数$z$を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(5)　袋の中に赤球$6$個，青球$6$個，緑球$6$個，白球$6$個が入っている．袋から$4$個の球を同時に取り出すとき，赤球と青球がちょうど$1$個ずつ含まれる確率を求めよ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　$n$を自然数とする．$x\geqq 0$のとき${(1+x)}^n\geqq 1+nx+{\displaystyle \frac{1}{2}}n(n-1)x^2$を示せ．また，これを用いて$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{n}{3^n}}$を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$を

$a_1=5\text{，}$$a_{n+1}=3a_n-6$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　(2)で与えられた数列$\{a_n\}$を用いて，数列$\{b_n\}$を

$b_1=2\text{，}$$3b_{n+1}(a_n+n)=b_n(a_{n+1}+n+1)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．数列$\{b_n\}$の一般項と，$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$を求めよ．

【３】　関数$f(x)={(\log x)}^2-2\log x$$\text{（}x>0\text{）}$について以下の問いに答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$の増減，極値，変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．

(2)　曲線$y=f(x)$上の点$(p,f(p))$における接線が原点$(0,0)$を通るとき，$p$の値を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．