2022　三重大学　後期生物資源学部MathJax

【１】　次の各問(1)〜(4)に答えよ．ただし，利子は$1$年ごとに複利法（利子を元金に繰り入れ，元利合計を次年の元金とする方法）で計算するものとし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

(1)　年利$2.4\mathrm{\%}$の金融商品に投資するとき，元利合計が初年の元金の$1.5$倍を超えるのは何年後か．

(2)　$4$年後に元利合計が初年の元金の$1.28$倍になる金融商品$\mathrm{A}$と，$6$年後に元利合計が初年の元金の$1.5$倍になる金融商品$\mathrm{B}$と，$10$年後に元利合計が初年の元金の$1.8$倍になる金融商品$\mathrm{C}$がある．各商品の年利が期間を通じて変わらないとき，年利が大きい商品から順に並べよ．

(3)　毎年${\displaystyle \frac{x}{n}}$ずつ積み立て，$n$年後に得られる元利合計を$S_n\text{，}$元金$y$の$n$年後の元利合計を$S_y$とする．年利を$r>0$とし，$n>1\text{，}$$x>y\text{，}$$x>0\text{，}$$y>0$とするとき，$S_y>S_x$となる条件を$n$と$r$で表せ．

(4)　$n=2\text{，}$$r=0.04$のとき，$S_y>S_x$となる条件を求めよ．

【２】　$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{BC}=6\text{，}$$\mathrm{CA}=5$となる三角形$\mathrm{ABC}$について，次の各問(1)〜(3)に答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$の内心$\mathrm{O}$と外心$\mathrm{P}$の距離$\mathrm{PO}$を求めよ．

(2)　辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AC}$の延長線と辺$\mathrm{BC}$に接する円の中心$\text{（}\mathrm{\angle A}$に対する三角形$\mathrm{ABC}$の傍心）を$\mathrm{Q}\text{，}$三角形$\mathrm{ABC}$の外接円と線分$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{D}$としたとき，距離$\mathrm{DQ}$を求めよ．

(3)　辺$\mathrm{BA}\text{，}$$\mathrm{BC}$の延長線と辺$\mathrm{AC}$に接する円の中心$\text{（}\mathrm{\angle B}$に対する三角形$\mathrm{ABC}$の傍心）を$\mathrm{R}$としたとき，三角形$\mathrm{RQB}$の面積を求めよ．

【３】　放物線$y=x^3+2x+4$について，次の各問(1)〜(3)に答えよ．

(1)　原点$(x,y)=(0,0)$を通る放物線の二つの接線と放物線で囲まれた部分の面積を求めよ．

(2)　直線$y=kx$が放物線と$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$で交わるとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{M}$の座標を$k$で表せ．

(3)　線分$\mathrm{PQ}$の中点$\mathrm{M}$の軌跡を求めよ．