2022　滋賀医科大学　前期MathJax

【１】　実数$a\text{，}$$b\text{，}$$r$について，$r$が$a$と$b$の間にあるとは，$a<r<b$または$b<r<a$が成り立つことである．したがって$a=b$のときは，$a$と$b$の間にある実数はない．

(1)　$t$を$0$と$1$の間にある実数とする．数列$\{a_n\}$は初項$a_1=0$であり，$b_n=a_{n+1}-a_n$で定まる階差数列$\{b_n\}$は初項$b_1=1\text{，}$公比$-t$の等比数列となっている．

$\text{①}$　$a_{n+2}$は$a_n$と$a_{n+1}$の間にあることを示せ．

$\text{②}$　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

$\text{③}$　$0$と$1$の間にある実数$r$と$3$以上の奇数$n$に対して，$a_n=r$となるような$t$がただ$1$つ存在することを示せ．

(2)　すべての$n$に対して$c_{n+2}$が$c_n$と$c_{n+1}$の間にあるような数列$\{c_n\}$で，収束しない例を$1$つ作れ．

【２】(1)　$2$以上の自然数$n$に対して，${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{k^2}}<2-{\displaystyle \frac{1}{n}}$を示せ．

(2)　$x\geqq 0$のとき，${\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x^4}{24}}\leqq 1-\cos x\leqq {\displaystyle \frac{x^2}{2}}$を示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}(k^2-k^2\cos {\displaystyle \frac{1}{k}})$を求めよ．

【３】　$a\text{，}$$b$を正の定数とし，$xy$平面上の双曲線

${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$

を$H$とする．$0$でない実数$t$に対して，直線$y=t$と$H$の交点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{P}$における$H$の接線と$\mathrm{Q}$における$H$の接線の交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{▵PQR}$の面積を$S$とおく．

(1)　$\mathrm{R}$の座標を$b\text{，}$$t$を用いて表せ．

(2)　$S$を$a\text{，}$$b\text{，}$$t$を用いて表せ．

(3)　$t$が$0$でない実数全体を動くとき，$S$の最小値を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

【４】(1)　$3$辺の長さが$1\text{，}$$a\text{，}$$b$である三角形が作れるとき，点$(a,b)$の存在する範囲を$ab$平面上に図示せよ．

(2)　$2$辺の長さが$a\text{，}$$b$である面積$1$の三角形が作れるとき，点$(a,b)$の存在する範囲を$ab$平面上に図示せよ．

(3)　$xy$平面上の点$\mathrm{P}$について，頂点$\mathrm{A}$$(2,0)\text{，}$内接円が$x^2+y^2=1$である$\mathrm{▵ABC}$を，$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{BC}$上にあるように作れるとき，点$\mathrm{P}$の存在する範囲を図示せよ．ただし辺は両端を含む．