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2022-10541-0101
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入試の軌跡 数学さんの解答(PDF3頁)へ
2022 京都大学 前期
文系,理系共通
配点30点
易□ 並□ 難□
【1】 5.4<log 4⁡2022 <5.5 であることを示せ.ただし, 0.301<log 10⁡2 <0.3011 であることは用いてよい.
2022-10541-0102
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF3頁7行)へ
文系
【2】 右図の三角柱 ABC‐DEF において, A を始点として,辺に沿って頂点を n 回移動する.すなわち,この移動経路
P0 →P 1→ P2 →⋯→ Pn -1→ Pn (ただし P0= A )
において, P0 P1 , P1 P2 , ⋯, P n-1 Pn はすべて辺であるとする.また,同じ頂点を何度通ってもよいものとする.このような移動経路で,終点 P n が A , B , C のいずれかとなるものの総数 a n を求めよ.
2022-10541-0103
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF4頁)へ
【3】 x⁣y 平面上の 2 直線 L 1 , L2 は直交し,交点の x 座標は 32 である.また, L1 , L2 はともに曲線 C :y= x 24 に接している.このとき, L1 , L2 および C で囲まれる図形の面積を求めよ.
2022-10541-0104
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF5頁)へ
【4】 a , b を正の実数とする.直線 L :a⁢x +b⁢y =1 と曲線 y =- 1x との 2 つの交点のうち, y 座標が正のものを P , 負のものを Q とする.また, L と x 軸との交点を R とし, L と y 軸との交点を S とする. a , b が条件
OQ RS=2
を満たしながら動くとき,線分 PQ の中点の軌跡を求めよ.
2022-10541-0105
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入試の軌跡 数学さんの解答(PDF6頁)へ
理系は【4】
【5】 四面体 OABC が
OA=4 , OB=AB= BC=3 , OC=AC= 2⁢3
を満たしているとする. P を辺 BC 上の点とし, ▵OAP の重心を G とする.このとき,次の各問に答えよ.
(1) PG→ ⊥OA→ を示せ.
(2) P が辺 BC 上を動くとき, PG の最小値を求めよ.
2022-10541-0106
数学入試問題さんの解答(PDF)へ
T氏の数学日記さんの解答,別考察へ
入試の軌跡 数学さんの解答(PDF2頁7行)へ
理系
配点35点
【2】 箱の中に 1 から n までの番号がついた n 枚の札がある.ただし n ≧5 とし,同じ番号の札はないとする.この箱から 3 枚の札を同時に取り出し,札の番号を小さい順に X , Y , Z とする.このとき, Y-X≧ 2 かつ Z -Y≧2 となる確率を求めよ.
2022-10541-0107
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【3】 n を自然数とする. 3 つの整数 n 2+2 , n4+ 2, n6 +2 の最大公約数 A n を求めよ.
2022-10541-0108
【5】 曲線 C :y=cos 3⁡x ( 0≦x≦ π2 ) , x 軸および y 軸で囲まれる図形の面積を S とする. 0<t <π 2 とし, C 上の点 Q (t, cos3⁡ t) と原点 O , および P (t, 0) , R (0, cos3⁡ t) を頂点にもつ長方形 OPQR の面積を f ⁡(t ) とする.このとき,次の各問に答えよ.
(1) S を求めよ.
(2) f⁡( t) は最大値をただ 1 つの t でとることを示せ.そのときの t を α とすると, f⁡( α)= cos 4⁡α 3⁢sin ⁡α であることを示せ.
(3) f ⁡(α )S < 916 を示せ.
2022-10541-0109
【6】 数列 { xn }, {y n} を次の式
x1 =0 , xn+ 1=x n+n+ 2⁢cos⁡ ( 2⁢π xn3 ) ( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
y3⁢ m+1 =3⁢m , y3⁢ m+2 =3⁢m +2 , y3⁢ m+3 =3⁢m +4 ( m=0 ,1 ,2 ,⋯ )
により定める.このとき,数列 { xn- yn } の一般項を求めよ.