2022　京都大学　特色入試理学部MathJax

【１】　$n$を正の整数とする．$P(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$を$x_1\text{，}$$x_2\text{，}\cdots \text{，}$$x_n$の$n$個の文字についてのある実数係数の多項式とする．整数の列$\{a_i\}$が次の性質(＊)を満たすと仮定する．

(＊)　$n$より大きいすべての整数$i$に対して$a_i=P(a_{i-n},a_{i-n+1},\cdots ,a_{i-1})$

ただし，$P(a_{i-n},a_{i-n+1},\cdots ,a_{i-1})$は多項式$P(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$の文字$x_1\text{，}$$x_2\text{，}\cdots \text{，}$$x_n$にそれぞれ$a_{i-n}\text{，}$$a_{i-n+1}\text{，}\cdots \text{，}$$a_{i-1}$を代入したものである．

　このとき，ある$2$つの正の実数$c\text{，}$$d$が存在して，すべての正の整数$i$に対して

$a_i<c^{d^i}$

が成り立つことを示せ．

【２】　半径$1$の円$C$の周上に相異なる$5$点${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3\text{，}$${\mathrm{A}}_4\text{，}$${\mathrm{A}}_5$がこの順に並んでいるとし，

${\mathrm{B}}_1$を線分${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_3$と線分${\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_4$の交点，

${\mathrm{B}}_2$を線分${\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_4$と線分${\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_5$の交点，

${\mathrm{B}}_3$を線分${\mathrm{A}}_3{\mathrm{A}}_5$と線分${\mathrm{A}}_4{\mathrm{A}}_1$の交点，

${\mathrm{B}}_4$を線分${\mathrm{A}}_4{\mathrm{A}}_1$と線分${\mathrm{A}}_5{\mathrm{A}}_2$の交点，

${\mathrm{B}}_5$を線分${\mathrm{A}}_5{\mathrm{A}}_2$と線分${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_3$の交点

とするとき，

$S_1$を$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_5{\mathrm{B}}_4$の面積，

$S_2$を$▵{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_5$の面積，

$S_3$を$▵{\mathrm{A}}_3{\mathrm{B}}_2{\mathrm{B}}_1$の面積，

$S_4$を$▵{\mathrm{A}}_4{\mathrm{B}}_3{\mathrm{B}}_2$の面積，

$S_5$を$▵{\mathrm{A}}_5{\mathrm{B}}_4{\mathrm{B}}_3$の面積，

$T$を五角形${\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2{\mathrm{B}}_3{\mathrm{B}}_4{\mathrm{B}}_5$の面積

とおく．このように${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{A}}_3\text{，}$${\mathrm{A}}_4\text{，}$${\mathrm{A}}_5$を動かしたとき，

$S=S_1+S_2+S_3+S_4+S_5+2T$

の最大値を求めよ．

　ただし，三角比の値は具体的に求めずに用いてよい．

【３】　${\mathrm{Z}}^4$を$4$つの整数$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4$の組$(a_1,a_2,a_3,a_4)$全体のなす集合とする．このとき，以下の条件をすべて満たすような${\mathrm{Z}}^4$の部分集合$\mathrm{S}$が存在することを示せ，

【４】　$0$以上$1$未満の実数$p$を固定する．$n$を正の整数とし，$xy$平面上の領域$D_n$を$x+y\leqq n$で定める．$xy$平面上の点${\mathrm{P}}_0$$(0,n)$から始まる点列${\mathrm{P}}_0\text{，}$${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots$を以下の条件を満たすように定める．

このとき，以下の設問に答えよ．

(1)　$p={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，${\mathrm{P}}_{n+k}$が$(k,0)$となる確率を$p_{n,k}$とする．このとき

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }}k{p}_{n,k}$

を求めよ．

(2)　各々の$n$に対し，上の操作で実現可能な点列${\mathrm{P}}_0$$(0,n)\text{，}$${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}$${\mathrm{P}}_{2n}$でこれらすべての点が$D_n$に属するものの総数を$C_n$とする．また，$C_0=1$とする．このとき，

$C_{n+1}={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{C}_k{C}_{n-k}$

成り立つことを示せ．

(3)　点列${\mathrm{P}}_0$$(0,n)\text{，}$${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3\text{，}\cdots$のすべての点が領域$D_n$に属する確率を$q_n$とする．このとき，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{q}_n$

を$p$を用いて表せ．

ただし，正の実数の列$\{a_j\}$が，任意の正の整数$m$に対して${\displaystyle \sum _{j=1}^m}{a}_j\leqq 1$を満たすとき，以下が成り立つことを用いてもよい．

・極限$\underset{m\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{j=1}^m}{a}_j$が存在する．この極限値を$a$とすると$a\leqq 1\text{．}$

・$a$の値は実数の列$\{a_j\}$の順番を入れ替えて和をとったとしても変わらない．