2022　京都教育大学　前期MathJax

【１】(1)　$a\text{，}$$b$は実数であるとする．$a>b$であることは，$a^2+b^2$であるための，必要条件でも，十分条件でもないことを証明せよ．

(2)　$a\text{，}$$b$は正または$0$の実数であるとする．$a>b$であることは，$a^2>b^2$であるための，必要十分条件であることを証明せよ．

(3)　不等式

$|x^2+x-4|>|3x-1|$

を解け．

【２】

1．$1$辺の長さ$1$の正方形を描く．これを$S_0$とする．

2．$S_0$の各辺を$2:1:2$の三つの線分に区切り，その中央の幅${\displaystyle \frac{1}{5}}$の部分をそれぞれ取り除き，残った部分全体を$S_1$とする．

3．$S_1$のそれぞれの正方形に対して，各辺を$2:1:2$の三つの線分に区切り，その中央の幅${\displaystyle \frac{2}{5^2}}$の部分をそれぞれ取り除き，残った部分全体を$S_2$とする．

4．$S_2$のそれぞれの正方形に対して，各辺を$2:1:2$の三つの線分に区切り，その中央の幅${\displaystyle \frac{2^2}{5^3}}$の部分をそれぞれ取り除き，残った部分全体を$S_3$とする．

5．この操作を繰り返し，$S_n$$\text{（}n=4\text{，}$$5\text{，}$$6\text{，}\cdots \text{）}$を作成する．また，各$n$$\text{（}n\geqq 1\text{）}$に対し，$S_n$の面積を$s_n$で表す．

(1)　$s_n$を$n$で表せ．

(2)　$s_n<{\displaystyle \frac{1}{10000}}$となるための，$n$の条件を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$としてよい．

【３】　$\mathrm{▵OAB}$は$\mathrm{OA}=2\text{，}$$\mathrm{OB}=5\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=\theta$の三角形であるとする．$\mathrm{▵OAB}$の面積を$S$とし，また，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，$\mathrm{OM}$の長さ$m$とする．$\theta$を$0<\theta <\pi$の範囲で動かすとき，$S$および$m$を$\theta$を用いて表せ．また，$S$および$m$の値の範囲を求めよ．

【４】(1)　二つの正の整数$a\text{，}$$b$$\text{（}a>b\text{）}$を考える．$a$を$b$で割った余りを$r$とおくとき，$r\ne 0$ならば$a$と$b$の最大公約数と$b$と$r$の最大公約数は等しいことを証明せよ．また，$r=0$ならば，$a$と$b$の最大公約数は$b$であることを証明せよ．

(2)　$177459$と$57962$の最大公約数を求めよ．

【５A】　$a$は実数の定数であるとする．$3$次方程式

$x^3-a{x}^2-a^{2}x+1=0$

の，相異なる実数解の個数を，$a$の値によって分類せよ．

【５B】(1)　関数$f(x)=x^{\frac{1}{2}}$$\text{（}x>0\text{）}$は，$x>e$において，減少することを示せ．

(2)　${2021}^{2022}$と${2022}^{2021}$の大小を比較せよ．