2022　京都工芸繊維大学　前期MathJax

【１】　四角形$\mathrm{ABCD}$について$\mathrm{AB}=1\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}=90\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle CDA}=90\mathrm{°}$とする．$\mathrm{\angle BCD}=\theta$とおき，$45\mathrm{°}<\theta <90\mathrm{°}$であるとする．

(1)　線分$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{E}$が$\mathrm{\angle DAE}=90\mathrm{°}$を満たすとき，$\mathrm{AE}<\sqrt{2}$であることを示せ．

(2)　点$\mathrm{C}$を中心とし直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{DA}$の両方に接する円が存在し，かつ$\mathrm{CD}=\sqrt{2}$であるとき，$\sin \theta$の値を求めよ．

【２】　$t$を正の実数とする．$f(x)$を$x$の$2$次関数とする．$xy$平面上の曲線$C_1\text{：}y=e^{\left|x\right|}$と曲線$C_2\text{：}y=f(x)$が，点${\mathrm{P}}_1$$(-t,e^l)$で直交し，かつ点${\mathrm{P}}_2$$(t,e^t)$でも直交している．ただし，$2$曲線$C_1$と$C_2$が点$\mathrm{P}$で直交するとは，$\mathrm{P}$が$C_1$と$C_2$の共有点であり，$C_1$と$C_2$は$\mathrm{P}$においてそれぞれ接線をもち，$C_1$の$\mathrm{P}$における接線と$C_2$の$\mathrm{P}$における接線が垂直であることである．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　線分${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$と曲線$C_2$とで囲まれた図形の面積を$S$とする．$S$を$t$を用いて表せ．また，$t$が$t>0$の範囲を動くときの$S$の最大値を求めよ．

【３】(1)　不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}}\mathit{dx}$を求めよ．

(2)　$\theta$の関数$f(\theta )$を$f(\theta )={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\displaystyle \frac{|\sin \theta -\sin x|}{{\cos }^{2}x}}\mathit{dx}$で定める．$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$の範囲における$f(\theta )$の最大値と最小値を求めよ．

【４】　横一列に並んだ$6$文字からなる文字列に対して次の操作を考える．

また，(＊)の操作を続けて行う場合は直前の操作で得られた文字列に対して(＊)の操作を行うものとする．

(1)　文字列$\mathrm{BANANA}$に対して(＊)の操作を$1$回行って得られる文字列が再び$\mathrm{BANANA}$である確率$p_1$を求めよ．

(2)　文字列$\mathrm{BANANA}$に対して(＊)の操作を$2$回続けて行うとき，$1$回目の操作の結果が$\mathrm{NABANA}$であり$2$回目の操作の結果が$\mathrm{BANANA}$である確率$p_2$を求めよ．

(3)　文字列$\mathrm{BANANA}$に対して(＊)の操作を$2$回続けて行って得られる文字列が$\mathrm{BANANA}$である確率$p_3$を求めよ．