2022　京都工芸繊維大学　後期MathJax

【１】　係数が実数である整式$f(x)$に対し，実数$k$が方程式$f(x)=0$の重解であるとは，$f(x)$が${(x-k)}^2$で割り切れることである．次の問いに答えよ．

(1)　係数が実数である整式$f(x)$と実数$k$に対し，$f(k)=0$かつ$f^{\prime }(k)=0$が成り立つことは，$k$が方程式$f(x)=0$の重解であるための必要十分条件であることを示せ．

(2)　$n$を$2$以上の自然数とする．実数$k$と実数$a$に対し，$k$は$n$次方程式$x^n-ax+a=0$の重解であるとする．このとき，$k$および$a$を求めよ．

【２】　$0<x<3$の範囲において，$2$つの関数

$f(x)=-(x+1)\log \left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)\text{，}$$g(x)=(x+1)\log (3-x)$

を考える．

(1)　不等式$f(x)\leqq g(x)$が成り立つような$x$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　$xy$平面上の曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$とで囲まれた図形の面積を求めよ．

【３】　$z$を$2$と異なる複素数とする．

(1)　複素数平面上で点${\displaystyle \frac{z}{z-2}}$が虚軸上にあるように点$z$が動くとき，点$z$はどのような図形を描くか答えよ．

(2)　複素数平面上で点${\displaystyle \frac{z}{z-2}}$が虚軸上にあるような$z$のうち，$(1-\sqrt{3}i)z$の実部が最大となるようなものを$\alpha$と表す．複素数$\alpha$および${\alpha }^n$を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．

【４】　$h$を正の実数とする．$xyz$空間内の四面体$\mathrm{PQRS}$を考える．$\mathrm{▵QRS}$は$xy$平面に含まれるとし，頂点$\mathrm{P}$の座標は$(0,0,2h)$であるとする．四面体$\mathrm{PQRS}$の$6$つの辺$\mathrm{RS}\text{，}$$\mathrm{SQ}\text{，}$$\mathrm{QR}\text{，}$$\mathrm{PQ}\text{，}$$\mathrm{PR}\text{，}$$\mathrm{PS}$の中点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$とする．四面体$\mathrm{PQRS}$から$3$つの四面体$\mathrm{LQCB}\text{，}$$\mathrm{MCRA}\text{，}$$\mathrm{NBAS}$を取り除いてできる立体を$V$とする．また$\mathrm{▵QRS}$の面積を$a$とする．ただし，四面体は表面と内部からなるものとする．

(1)　実数$t$は$0\leqq t\leqq 2h$を満たすとする．四面体$\mathrm{PQRS}$を平面$z=t$で切ったときの断面積を$h\text{，}$$a\text{，}$$t$を用いて表せ．

(2)　実数$t$は$0\leqq t\leqq h$を満たすとする．$V$を平面$z=t$で切ったときの断面積を$h\text{，}$$a\text{，}$$t$を用いて表せ．

(3)　(2)で求めた断面積を$t$の関数とみなして$f(t)$と表す．定積分${\displaystyle {\int }_0^h}tf(t)\mathit{dt}$を$h$と$a$を用いて表せ．