2022　大阪大学　前期MathJax

【１】　三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．また，線分$\mathrm{BN}$と線分$\mathrm{CM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．

(2)　辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$とするとき，線分$\mathrm{AP}$の長さを，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表せ．

【２】　$n$を$2$以上の自然数とし，$1$個のさいころを$n$回投げて出る目の数を順に$X_1\text{，}$$X_2\text{，}\cdots \text{，}$$X_n$とする．$X_1\text{，}$$X_2\text{，}\cdots \text{，}$$X_n$の最小公倍数を$L_n\text{，}$最大公約数を$G_n$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$L_2=5$となる確率および$G_2=5$となる確率を求めよ．

(2)　$L_n$が素数でない確率を求めよ．

(3)　$G_n$が素数でない確率を求めよ．

【３】　以下の問いに答えよ．

(1)　実数$\alpha \text{，}$$\beta$に対し，

${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}(x-\alpha )(x-\beta )\mathit{dx}={\displaystyle \frac{{(\alpha -\beta )}^3}{6}}$

が成り立つことを示せ．

(2)　$a\text{，}$$b$を$b>a^2$を満たす定数とし，座標平面上に点$\mathrm{A}$$(a,b)$をとる．さらに，点$\mathrm{A}$を通り，傾きが$k$の直線を$l$とし，直線$l$と放物線$y=x^2$で囲まれた部分の面積を$S(k)$とする．$k$が実数全体を動くとき，$S(k)$の最小値を求めよ．

【１】　$r$を正の実数とする．複素数平面上で，点$z$が点${\displaystyle \frac{3}{2}}$を中心とする半径$r$の円周上を動くとき，

$z+w=zw$

を満たす点$w$が描く図形を求めよ．

【２】　$\alpha ={\displaystyle \frac{2\pi }{7}}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\cos 4\alpha =\cos 3\alpha$であることを示せ．

(2)　$f(x)=8x^3+4x^2-4x-1$とするとき，$f(\cos \alpha )=0$が成り立つことを示せ．

(3)　$\cos \alpha$は無理数であることを示せ．

【３】　正の実数$t$に対し，座標平面上の$2$点$\mathrm{P}$$(0,t)$と$\mathrm{Q}$$({\displaystyle \frac{1}{t}},0)$を考える．$t$が$1\leqq t\leqq 2$の範囲を動くとき，座標平面内で線分$\mathrm{PQ}$が通過する部分を図示せよ．

【４】　$f(x)=\log (x+1)+1$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　方程式$f(x)=x$は，$x>0$の範囲でただ$1$つの解をもつことを示せ．

(2)　(1)の解を$\alpha$とする．実数$x$が$0<x<\alpha$を満たすならば，次の不等式が成り立つことを示せ．

$0<{\displaystyle \frac{\alpha -f(x)}{\alpha -x}}<f^{\prime }(x)$

(3)数列$\{x_n\}$を

$x_1=1\text{，}$$x_{n+1}=f(x_n)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．このとき，すべての自然数$n$に対して，

$\alpha -x_{n+1}<{\displaystyle \frac{1}{2}}(\alpha -x_n)$

が成り立つことを示せ．

(4)　(3)の数列$\{x_n\}$について，$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=\alpha$を示せ．

【５】　座標平面において，$t$を媒介変数として

$x=e^t\cos t+e^{\pi }\text{，}$$y=e^t\sin t$$\text{（}0\leqq t\leqq \pi \text{）}$

で表される曲線を$C$とする．曲線$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．