2022　神戸大学　後期MathJax

2022-10601-0201

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2022　神戸大学　後期

理科系

配点30点

易□　並□　難□

【１】　 $a$ を正の実数， $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a$ とする． $t$ を実数とするとき，点 $P$ $(t, f (t))$ における放物線 $y = f (x)$ の接線と原点の距離を $g (t)$ とする． $g (t)$ の最小値とそのときの $t$ の値を $a$ を用いて表せ．

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【２】　 $z$ を実数でない複素数， $A (z) ，$ $B (z^{2}) ，$ $C (z^{3})$ を複素数平面上の $3$ 点とする．以下の問に答えよ．

(1)　 $3$ 点 $A ，$ $B ，$ $C$ は一直線上にないことを示せ．

(2)　 $w$ を $w \neq 0 ，$ $1$ である複素数， $O (0) ，$ $P (1) ，$ $Q (w)$ を複素数平面上の $3$ 点とし， $∠ABC = ∠OPQ ，$ $∠BAC = ∠POQ$ とする． $w$ の値を $z$ を用いて表せ．ただし，角は向きを含めて考える．

(3)　 $▵ABC$ が直角二等辺三角形になるときの $z$ の値を求めよ．

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【３】　以下の問に答えよ．

(1)　 $t ≧ 0$ とする． $t - \frac{1}{6} t^{3} ≦ \sin t ≦ t$ を示せ．

(2)　数列 ${a_{n}}$ を $a_{n} = \int_{n^{2}}^{n^{2} + n} \sqrt{x} \sin \frac{1}{x} dx$ $（ n = 1 ，$ $2 ，$ $3 ， \dots ）$ によって定める．極限値 $\lim_{n \to \infty} a_{n}$ を求めよ．

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【４】　媒介変数表示 $x = \sin t ，$ $y = - \cos 2 t - 2 \cos t - 1$ $（ 0 ≦ t ≦ π ）$ で表される曲線を $C$ とする．以下の問に答えよ．

(1)　 $\frac{dx}{dt} = 0$ または $\frac{dy}{dt} = 0$ となる $t$ の値を求めよ．

(2)　 $C$ の概形をかけ，

(3)　 $C$ と $y$ 軸で囲まれた図形を $y$ 軸の周りに $1$ 回転してできる立体の体積を求めよ．

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【５】　 $m$ を整数， $n$ を自然数とし， $m$ を $2 n - 1$ で割ると $n - 1$ 余り， $2 n + 1$ で割ると $n$ 余るとする．以下の問に答えよ．

(1)　 $2 n - 1$ と $2 n + 1$ は互いに素であることを示せ．

(2)　 $n = 5$ のときの $m$ をすべて求めよ．

(3)　 $m$ を $4 n^{2} - 1$ で割った余りを $n$ を用いて表せ．