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2022-10631-0101
2022 奈良女子大学 前期
理学部
易□ 並□ 難□
【1】 座標平面上に点 O (0, 0), 点 A (0, 7), 点 B (12, 2), 点 C ( 0,c ) をとる. ∠OAB の二等分線が x 軸と交わる点を P とする.以下の問いに答えよ.
(1) 点 P の座標を求めよ.
(2) 三角形 ABC の内心と点 P が一致するとき, c の値を求めよ.
2022-10631-0102
【2】 2 つの整数 m , n を用いた 3 次方程式
x3+ m⁢x2 +n⁢x +1=0
が実数解 r と虚数解 p +q⁢i をもつとする.ただし, p は実数, q は 0 でない実数, i は虚数単位とする.以下の問いに答えよ.
(1) この 3 次方程式は p -q⁢i を解にもつことを示せ.
(2) r⁢( p2+ q2) =-1 であることを示せ.
(3) |p+ q⁢i| =1 となる整数の組 ( m,n ) をすべて求めよ.
2022-10631-0103
【3】 e を自然対数の底とする.座標平面上に関数 y =ex のグラフ G がある. a を実数とし, G 上に点 P (a ,ea ), 点 Q (a+ 1,ea +1 ) をとる.点 P , Q における G の接線をそれぞれ l1 , l2 とし, l1 と l 2 の交点を R とする.さらに, G と直線 PQ で囲まれる部分の面積を S 1 とし,三角形 PQR の面積を S 2 とする.以下の聞いに答えよ.
(1) 直線 l 1 の方程式を a を用いて表せ.
(2) 点 R の x 座標を a を用いて表せ.
(3) S1 を a を用いて表せ.
(4) S 1S2 の値を求めよ.
2022-10631-0104
生活環境,工学部
【4】 一辺の長さが 1 の立方体がある.この立方体の 8 個の頂点から異なる 3 個を選び,これらを頂点とする三角形をつくる.以下の問いに答えよ.
(1) 三角形は全部で何個できるか.
(2) 直角三角形は全部で何個できるか.
(3) 面積が 710 以上である三角形は全部で何個できるか.
2022-10631-0105
【5】 2 つの三角形 ABC , DEF において, ∠ACB=∠DFE =90⁢ ° であり, ∠BAC は ∠EDF の 2 倍に等しいとする.さらに,三角形 ABC の面積と三角形 DEF の面積は等しいとする. x=AB , y=AC , a=DE , b=DF とおく.以下の聞いに答えよ.
(1) a を x と y を用いて表せ.また, b を x と y を用いて表せ.
(2) a=5 ⁢14 , b=4 ⁢14 のとき, x と y の値を求めよ.
2022-10631-0106
【6】 f⁡( x)= |x2 -1| +2⁢x とする.以下の問いに答えよ.
(1) 関数 y =f⁡( x) のグラフをかけ.
(2) 曲線 y =f⁡( x) と x 軸で囲まれる部分の面積を求めよ.