2022　和歌山大学　前期MathJax

2022-10641-0101

数学入試問題さんの解答（PDF）へ

2022　和歌山大学　前期

教育，システム工学部

易□　並□　難□

【１】　関数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x - \cos 2 x + \sqrt{3} \sin x + \cos x$ について，次の問いに答えよ．

(1)　 $\sqrt{3} \sin x + \cos x$ のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　 $t = \sqrt{3} \sin x + \cos x$ とする． $f (x)$ を $t$ の式で表せ．

(3)　 $f (x)$ の最大値と最小値を求めよ．

2022-10641-0102

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教育，システム工学部

易□　並□　難□

【２】　 $▵ABC$ とその内部の点 $P$ は， $10 \vec{PA} + 2 \vec{PB} + 3 \vec{PC} = \vec{0} ，$ $| \vec{AB} | = 3 ，$ $| \vec{AC} | = 2$ を満たすとする．また，点 $D$ を直線 $AP$ と辺 $BC$ の交点とし，直線 $AB$ 上の点 $E$ は， $\vec{DE} ⊥ \vec{AB}$ を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)　 $\vec{AD}$ を $\vec{AB} ，$ $\vec{AC}$ を用いて表せ．

(2)　 $| \vec{AD} | = \frac{6}{5}$ のとき， $▵ABC$ の面積を求めよ．

(3)　 $\vec{EP} ⫽ \vec{BC}$ のとき， $▵ABC$ の面積を求めよ．

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【３】　数列 ${a_{n}} ，$ ${b_{n}}$ は

$a_{1} = \frac{1}{2} ，$ $a_{n + 1} = \frac{2}{1 + a_{n}}$ $（ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

$b_{1} = 1 ，$ $a_{n} b_{n + 1} = b_{n}$ $（ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

を満たしている．また，数列 ${c_{n}}$ を $c_{n} = b_{n + 1} - b_{n}$ で定める．次の問いに答えよ．

(1)　 $2$ 以上の整数 $n$ に対して， $b_{n + 1}$ を $b_{n} ，$ $b_{n - 1}$ を用いて表せ．

(2)　数列 ${c_{n}}$ の一般項を求めよ．

(3)　数列 ${b_{n}}$ の一般項を求めよ．

(4)　数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

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【４】　 $a ，$ $b$ を実数とする． $x$ の方程式 $x^{2} + 2 a x + b = 0$ が実数解をもち，すべての実数解が $- 1 ≦ x ≦ 3$ の範囲にあるとき，次の問いに答えよ．

(1)　 $b$ のとり得る値の最小値を求めよ．

(2)　点 $(a, b)$ の存在する領域の面積を求めよ．

2022-10641-0105

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【５】　 $r > 0$ とし， $t$ を実数とする．座標平面上の楕円 $C ： r {(x - 1)}^{2} + y^{2} = r$ に直線 $l ： y = (t - 1) x + 1$ が接している．接点の $x$ 座標を $a$ とし， $C$ で囲まれた領域のうち， $x$ 座標が $a$ 以下の部分を $x$ 軸の周りに $1$ 回転させてできる立体の体積を $V$ とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　 $r$ を $t$ を用いて表せ．

(2)　 $a$ を $t$ を用いて表せ．

(3)　 $V$ を $t$ を用いて表せ．

(4)　 $V$ を最大にする $t$ の値を求めよ．

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