2022　和歌山大学　後期工学部MathJax

2022　和歌山大学　後期工学部

総合問題

易□　並□　難□

$a_{n + 1} = {\begin{cases} \sqrt{a_{n}} & （ a_{n} が平方数のとき） \\ a_{n} + 5 & （それ以外のとき） \end{cases}$

によって定まる数列 ${a_{n}}$ を考える．このとき，以下の設問(1)から(4)に答えなさい．

(1)　 $a_{1} = 6$ とする．このとき， $a_{2} ，$ $a_{3} ，$ $a_{4} ，$ $a_{5} ，$ $a_{6}$ の値をそれぞれ求めなさい．

(2)　以下の $①$ と $②$ を証明しなさい．

$①$ 　平方数 $K$ を $5$ で割った余りは， $0 ，$ $1 ，$ または， $4$ のいずれかである．

$②$ 　平方数 $K$ が $5$ の倍数になる必要十分条件は， $\sqrt{K}$ が $5$ の倍数であることである．

(3)　 $a_{1}$ が $5$ の倍数で， $a_{1} > 9$ であるとする．このとき，ある整数 $n$ で $a_{n} < a_{1}$ となることを証明しなさい．

(4)　 $a_{1}$ が $5$ の倍数であるとする．このとき， $a_{n} = 5$ を満たす整数 $n$ が無数に存在することを証明しなさい．