2022　岡山大学　前期MathJax

【１】　ハート，スペード，クラブ，ダイヤの各マークのついた$\text{「}\mathrm{A}$（エース）」，$\text{「}2\text{」，}$$\text{「}3\text{」}$のカードがそれぞれ$1$枚ずつ箱に入っている．カードは全部で$12$枚である．この箱から$1$枚ずつ無作為に取り出して，$12$枚のカードを横一列に並べる．以下の問いに答えよ．

(1)　$\text{「}\mathrm{A}$（エース）」のカードが$4$枚連続して並ぶ確率を求めよ．

(2)　どの$2$枚の$\text{「}\mathrm{A}$（エース）」のカードも連続して並ばない確率を求めよ．

(3)　$\text{「}\mathrm{A}$（エース）」のカードの連続した並びが生じ，かつ，$\text{「}\mathrm{A}$（エース）」のカードが$3$枚以上は連続して並ばない確率を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$において，各辺の長さを$\mathrm{BC}=a\text{，}$$\mathrm{CA}=b\text{，}$$\mathrm{AB}=c$とし，$a^2=5-\sqrt{2}-\sqrt{6}\text{，}$$b^2=1\text{，}$$c^2=4$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\cos \mathrm{\angle BAC}$の値を求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．

(3)　$\mathrm{\angle BAC}$の大きさを求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2+a_n}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で，数列$\{b_n\}\text{，}$$\{c_n\}$を

$b_1=c_1=1\text{，}$$b_{n+1}=c_n\text{，}$$c_{n+1}=b_n+2c_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．以下の問いに答えよ．

(1)　すべての自然数$n$について$a_n={\displaystyle \frac{b_n}{c_n}}$が成り立つことを示せ．

(2)　数列$\{\alpha b_n-c_n\}$が等比数列となるような実数$\alpha$をすべて求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}\text{，}$$\{c_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．

【４】　$a$を実数とし，座標平面上の曲線

$C\text{：}y=x^3+(a+2)x^2+2ax+2$

を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　$a$がどのような値をとっても曲線$C$は$2$つの定点を通る．その$2$点の座標を求めよ．

(2)　(1)で求めた$2$点のうち，$x$座標の小さい方を点$\mathrm{A}\text{，}$もう一方を点$\mathrm{B}$とし，その$2$点を通る直線を$L$とする．曲線$C$と直線$L$が異なる$3$点で交わり，その交点がすべて線分$\mathrm{AB}$上にあるような$a$の値の範囲を求めよ．

(3)　$a$の値が(2)で求めた範囲にあるとする．このとき，曲線$C$と(2)で定めた直線$L$で囲まれた部分の面積$S(a)$の最小値を求めよ．

【１】　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$3$人で次のルールに従って一連の試合を行い，優勝者を決定する．

・$1$試合目は$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が戦う．

・自然数$n$に対し，$n+1$試合目は$n$試合目の勝者と$n$試合目に戦わなかった人が戦う．

・$2$連勝した人が出た時点で，その人が優勝者となり，以後試合は行わない．

・すべての試合において，引き分けはないものとする．

　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が互いに戦う際の勝率は次の通りとする．ただし，$p$は$0<p<1$を満たす実数とする．

・$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の試合：勝つ確率は$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$のどちらも${\displaystyle \frac{1}{2}}$である．

・$\mathrm{A}$と$\mathrm{C}$の試合：$\mathrm{A}$が勝つ確率は$1-p\text{，}$$\mathrm{C}$が勝つ確率は$p$である．

・$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$の試合：$\mathrm{B}$が勝つ確率は$1-p\text{，}$$\mathrm{C}$が勝つ確率は$p$である．

　$n$試合目で優勝者が決定する確率を$a_n$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4$を求めよ．

(2)　自然数$k$に対し， $a_{3k}$を求めよ．

(3)　$\mathrm{C}$が優勝する確率を求めよ．

(4)　$1$以上$99$以下の自然数$N$に対し$p={\displaystyle \frac{N}{100}}$であるとする．このとき$C$が優勝する確率が${\displaystyle \frac{1}{3}}$以上になるような$N$の最小値を求めよ．

【３】　$l$を正の実数とし，四面体$\mathrm{OABC}$において，各辺の長さを

$\mathrm{OA}={\displaystyle \frac{1}{2}}l\text{，}$$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=l\text{，}$$\mathrm{AB}=\mathrm{CA}=l\text{，}$$\mathrm{BC}=\sqrt{2}l$

とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，点$\mathrm{H}$は$\overrightarrow{\mathrm{OH}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{1}{8}}\overrightarrow{b}+{\displaystyle \frac{1}{8}}\overrightarrow{c}$を満たすとする．以下の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{H}$は$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が定める平面上に存在することを示せ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OH}}\right|$の値を求めよ．

(3)　$\mathrm{\angle OHB}$の大きさを求めよ．

(4)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．

【４】　$-1<x<1$に対して

$f(x)=\log (1+x)$$+\log (1-x)-x\log (1-x)$

とおく．ただし，対数は自然対数とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$-1<x<1$のとき，$f^{\prime }(x)\geqq 0$であることを示せ．

(2)　$-1<x<1\text{，}$$x\ne 0$のとき，${\displaystyle \frac{f(x)}{x}}>0$であることを示せ．

(3)　$n$が$2$以上の整数のとき，不等式

${\left({\displaystyle \frac{n^2-1}{n^2}}\right)}^{n+1}<{\displaystyle \frac{n-1}{n}}<{\left({\displaystyle \frac{n^2-1}{n^2}}\right)}^n$

が成り立つことを示せ．