2022　山口大学　後期理学部数理科学科MathJax

【１】　$\mathrm{\angle BAC}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$である直角三角形$\mathrm{ABC}$の外側に，各辺を$1$辺とする正三角形$\mathrm{BCP}\text{，}$$\mathrm{CAQ}\text{，}$$\mathrm{ABR}$を作る．$\mathrm{\angle ABC}=\theta$とする．${\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$であるとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$\mathrm{AB}=a\text{，}$$\mathrm{AC}=b$とする．$\theta \ne {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$かつ$\theta \ne {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき，三角形$\mathrm{BPR}$の面積$S_{\mathrm{BPR}}$と三角形$\mathrm{CQP}$の面積$S_{\mathrm{CQP}}$を$a\text{，}$$b$を用いて表しなさい．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S_{\mathrm{ABC}}$と三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S_{\mathrm{PQR}}$の比${\displaystyle \frac{S_{\mathrm{PQR}}}{S_{\mathrm{ABC}}}}$を$\theta$を用いて表しなさい．

(3)　比${\displaystyle \frac{S_{\mathrm{PQR}}}{S_{\mathrm{ABC}}}}$のとりうる値の範囲を求めなさい．

【２】　$a$を定数とする．$2$曲線$y=2\sin x$と$y=a-\cos 2x$が点$\mathrm{P}$で接している．ここで，点$\mathrm{P}$の$x$座標は$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$である．これら$2$つの曲線と$y$軸とで囲まれた領域の面積を$S$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$a$の値を求めなさい．

(2)　$r={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}}}(S+2-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$とおくとき，$r$の値を求めなさい．

(3)　無限級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{n}{r^n}}$の和を求めなさい．ただし，必要ならば

$\underset{n\to \infty }{\lim }n{s}^n=0$$\text{（}0<s<1\text{）}$

を証明なしに用いてよい．

【３】　次の問いに答えなさい．

(1)　$2$つの正の整数$a$と$b$について，$a$を$b$で割った余りを$r$とする．このとき，$a^2$を$b$で割った余りと$r^2$を$b$で割った余りが等しいことを証明しなさい．

(2)　$m$を$2$桁の正の整数とする．$m$の平方$m^2$の下$2$桁の数が$21$となるような$m$をすべて求めなさい．

(3)　$n$は$3$桁以上の正の整数で，平方$n^2$の下$3$桁の数が$321$であるとする．このとき，$n$の下$3$桁のとりうる数をすべて求めなさい．