2022　山口大学　後期理学部物理情報科,化,生物学科MathJax

【１】　$2$つの箱$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$がある．

箱$\mathrm{A}$には，赤玉が$7$個，白玉が$3$個入っている．

箱$\mathrm{B}$には，赤玉が$4$個，白玉が$6$個入っている．

このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　箱$\mathrm{A}$および箱$\mathrm{B}$からそれぞれ$1$個ずつ玉を取り出すとき，取り出した$2$個の玉のうち，少なくとも$1$個が赤玉である確率を求めなさい．

(2)　箱$\mathrm{A}$から$1$個，箱$\mathrm{B}$から$2$個，玉を取り出すとき，取り出した$3$個の玉がすべて赤玉である確率を求めなさい．

(3)　箱$\mathrm{A}$および箱$\mathrm{B}$からそれぞれ$2$個ずつ玉を取り出すとき，取り出した$4$個の玉のうち，少なくとも$1$個が赤玉である確率を求めなさい．

【２】　平面上に点$\mathrm{O}$と$\mathrm{▵ABC}$がある．また，

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}={\displaystyle \frac{1}{6}}(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2\overrightarrow{\mathrm{OB}}+3\overrightarrow{\mathrm{OC}})$

となる点$\mathrm{P}$をとる．線分$\mathrm{BC}$と直線$\mathrm{AP}$は交わり，その交点を$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{D}$が直線$\mathrm{BC}$上にあるから$\overrightarrow{\mathrm{BD}}=k\overrightarrow{\mathrm{BC}}$となる実数$k$がある．また，点$\mathrm{D}$が直線$\mathrm{AP}$上にあるから$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=l\overrightarrow{\mathrm{AP}}$となる実数$l$がある．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$および$k$を用いて表しなさい．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$および$l$を用いて表しなさい．

(3)　$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$を求めなさい．

【３】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$a_n=2n-1$であるとき，$S_n$を求めなさい．また，一般に，数列$\{a_n\}$について，次の等式が成り立つことを示しなさい．

${\displaystyle \sum _{j=1}^n}j{a}_j=(n+1)S_n-{\displaystyle \sum _{j=1}^n}{S}_j$

(2)　次の等式が成り立つことを示しなさい．

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{k}^2={\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$

【４】　関数

$f(x)={\displaystyle {\int }_x^{2x}}{\displaystyle \frac{\log t}{t^3}}\mathit{dt}$$\text{（}x\geqq 1\text{）}$

について，以下の問いに答えなさい．ただし，対数は自然対数とする．

(1)　部分積分の公式を用いて$f(x)$を求めなさい．

(2)　$f(x)$の増減を調べ，$y=f(x)$のグラフをかき，最大値を求めなさい．ただし，グラフの変曲点や凹凸は調べなくてよい．必要ならば

$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$

が成り立つことを用いてよい．

【１】　以下の問いに答えなさい．

(1)　$42000$の正の約数の個数を求めなさい．

(2)　$42000$の正の約数の総和を求めなさい．

(3)　$42000$の正の約数のうち，$24$と互いに素である約数の個数を求めなさい．

【４】　$e$を自然対数の底とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{e^x}{x^3}}$の増減を調べ，$y=f(x)$のグラフをかきなさい．ただし，グラフの変曲点や凹凸は調べなくてよい．必要ならば

$\underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{e^x}{x^3}}=0\text{，}$$\underset{x\to -0}{\lim }{\displaystyle \frac{e^x}{x^3}}=-\infty \text{，}$$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{e^x}{x^3}}=\infty \text{，}$$\underset{x\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{e^x}{x^3}}=\infty$

が成り立つことを用いてよい．

(2)　$a$を定数とする．方程式$e^x=a{x}^3$の異なる実数解の個数を求めなさい．

【２】　$5$つの文字$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{I}\text{，}$$\mathrm{I}\text{，}$$\mathrm{N}$を全部使ってできる文字列について，以下の問いに答えなさい．

(1)　文字列は全部で何通りあるか求めなさい．

(2)　$2$つの$\mathrm{I}$が隣り合う文字列は何通りあるか求めなさい．

(3)　$\mathrm{I}$と$\mathrm{D}$が隣り合う文字列は何通りあるか求めなさい．

(4)　全部の文字列を，アルファベット順の辞書式に並べるとき，文字列$\mathrm{INDIA}$は何番目の文字列か求めなさい．