2022　徳島大学　前期MathJax

【１】　$f(x)=x^2-2$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$とする．関数$y=f(x)$の逆関数を$y=g(x)$とする．

(1)　$g(x)$を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$の交点の座標を求めよ．

(3)　$x$軸の$x\geqq 0$の部分と$y$軸の$y\geqq 0$の部分，および曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　$a={18}^{50}$とする．以下の問いに答えよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

(1)　${\log }_{10}\sqrt{18}\text{，}$および${\log }_{10}5$の値を求めよ．

(2)　$a$の桁数，および$a$の最高位の数字を求めよ．

(3)　$a$を$5$進法で表したときの桁数，および最高位の数字を求めよ．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　不等式$|x+y|\leqq |x-y|$の表す領域を座標平面上に図示せよ．

(2)　不等式${(x+y)}^2+{(x-y+1)}^2\leqq 2$の表す領域を座標平面上に図示せよ．

(3)　(1)の領域と(2)の領域の共通部分の面積を求めよ．

【４】　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

$a_1=1\text{，}$$a_{2n}=3a_{2n-1}\text{，}$$a_{2n+1}=a_{2n}+3^{n-1}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4$を求めよ．

(2)　$n$を自然数とするとき，$a_{2n}$および$a_{2n-1}$をそれぞれ$n$の式で表せ．

(3)　$m$を自然数とするとき，${\displaystyle \sum _{n=1}^{2m}}{a}_n$を求めよ．

【１】　三角柱$\mathrm{OAB‐CDE}$の$3$つの側面は$1$辺の長さが$1$の正方形である．辺$\mathrm{BE}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{AD}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{T}$とする．ただし，$0<t<1$とする．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OM}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OT}}$を$t$の式で表せ．

(2)　$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{OMT}$の面積$S$の最小値を求めよ．

(3)　三角形$\mathrm{OMT}$の重心を$\mathrm{G}$とする．直線$\mathrm{EG}$と直線$\mathrm{OA}$が交わるとき，$t$の値を求めよ．

【３】　$f(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{1+x}}$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$の増減を調べて極値を求めよ．

(2)　$n$を自然数とする．$n$は$0<{\theta }_n<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲にあり，$\tan {\theta }_n=\sqrt{n}$を満たす．$I_n={\displaystyle {\int }_1^n}f(x)\mathit{dx}$を$n$および${\theta }_n$を用いて表せ．

(3)　自然数$n$に対して，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}f(k)$とする．$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{\sqrt{n}}}$の値を求めよ．

【４】　$n$を$2$以上の自然数とする．$n$桁の自然数$a$を$a=b_{n-1}{10}^{n-1}$$+b_{n-2}{10}^{n-2}+\cdots$$+b_{1}10+b_0$と表す．ただし，$b_0\text{，}$$b_1\text{，}\cdots \text{，}$$b_{n-1}$は$0$から$9$までの整数で，$b_{n-1}$は$0$ではない．このとき$n$桁の自然数$a$で，$b_k$$\text{（}0\leqq k\leqq n-1\text{）}$がいずれも$3$で割り切れないような$a$全体の集合を$U_n$とする．集合$U_n$の要素$a$を選ぶとき，$a$が$3$で割り切れる確率を$P_n\text{，}$$3$で割って$1$余る数である確率を$Q_n\text{，}$$3$で割って$2$余る数である確率を$R_n$とする．

(1)　$P_2$および$P_3$を求めよ．

(2)　$Q_n=R_n$が成り立つことを示せ．

(3)　漸化式$P_{n+1}=Q_n$および$Q_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}(P_n+Q_n)$が成り立つことを示せ．

(4)　$P_n$および$Q_n$をそれぞれ$n$の式で表せ．