2022　徳島大学　後期理工学部MathJax

【１】　$f(x)=\sqrt{x^2+4}-x$とする．実数$a$に対し，曲線$y=f(x)$上の点$(a,f(a))$における接線を$l$とする．$l$と$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S(a)$とする．

(1)　$l$が点$(6,0)$を通るとき，$a$の値と$l$の方程式を求めよ．

(2)　$S(a)$を$a$を用いて表せ．

(3)　$\underset{a\to \infty }{\lim }S(a)$の値を求めよ．

【２】　$i$を虚数単位として，$\alpha =1+\sqrt{3}i\text{，}$$\beta =a+bi$とする．ただし，$a$と$b$は実数である．複素数平面上の$2$点を$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )$として，点$\mathrm{B}$を原点$\mathrm{O}$を中心に$\arg \alpha$だけ時計回りに回転した点を$\mathrm{C}(z_1)\text{，}$直線$\mathrm{OA}$に関して点$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{D}(z_2)$とする．

(1)　$z_1$を$a$と$b$を用いて表せ．

(2)　$z_2$を$a$と$b$を用いて表せ．

(3)　$a\ne 1$かつ$a\ne -1$とする．直線$\mathrm{AC}$と直線$\mathrm{AD}$が垂直に交わるとする．このとき$a\text{，}$$b$の満たす方程式を求め，$\beta =a+bi$が描く図形を複素数平面上に図示せよ．

【３】　$n$を自然数とする．次の条件を満たす組$(x,y)$の個数を$f(n)$とする．

${\displaystyle \frac{1}{n}}={\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}$$\text{（}x\text{，}$$y$は自然数，$x\leqq y\text{）}$

次の問いに答えよ．

(1)　$f(2)$および$f(4)$の値を求めよ．

(2)　$k$が自然数のとき$f(2^k)$を$k$の式で表せ．

(3)　$k$が自然数のとき$f(6^k)$を$k$の式で表せ．