2022　鳴門教育大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えなさい．

(1)　「単項式の次数」と「整式の次数」の定義をそれぞれ述べなさい．

(2)　次の$3$つの条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)を満たす$x$の整式$P\text{，}$$Q$が存在するような整数$n$をすべて求めなさい．

(ⅰ)　$x^5+n=PQ$

(ⅱ)　$P\text{，}$$Q$の次数は$1$以上

(ⅲ)　$P\text{，}$$Q$の各項の係数はすべて整数

【２】　次の問いに答えなさい．

(1)　「関数$f(x)$の最小値」の定義を述べなさい．

(2)　$c$を定数とします．関数

$f(x)={(x-4)}^2-2cx$$\text{（}1<x\leqq 9\text{）}$

に最小値があるとき，その値を求めなさい．

【３】　立方体のサイコロがあり，各面には$1$から$6$までの目がかかれています．このサイコロを続けて$4$回投げるとき，出た目を順番に$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$x_3\text{，}$$x_4$とし，

$y=(x_1-1)(x_2-2)(x_3-3)(x_4-4)$

とします．サイコロのどの目が出ることも同様に確からしいとするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$y<0$となる確率を求めなさい．

(2)　${\displaystyle \frac{y}{4}}$が整数となる確率を求めなさい．

【４】　定数$n$は$3$以上の整数とし，等式

$pn+q(n-1)=S\cdots$(A)

を考えます．ここで，$p\text{，}$$q\text{，}$$S$は整数とします．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$n$と$n-1$が互いに素であることを証明しなさい．

(2)　$p\text{，}$$q$に関する不定方程式(A)の整数解を$n\text{，}$$S$を用いて表しなさい．

(3)　$p\text{，}$$q$は$0$以上の整数とします．例えば$n=3$であるとき，$p\text{，}$$q$がどのような値であっても，$S=1$となることはありません．このような，$S$がとりえない自然数のうち，最大のものを$n$を用いて表しなさい．

【５】　右の図において$5$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}$が同一円周上にあるとき，

$\mathrm{AC}\cdot \mathrm{BE}=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{CE}+\mathrm{AE}\cdot \mathrm{BC}$

であることを証明しなさい．